通过 3D 平面的点的镜像

在三维计算机图形学中，我们通常需要对三维模型进行一些变换操作，如平移、旋转、缩放、反转等。其中，点的镜像操作也是非常常见的一种变换。在本文中，我们将介绍如何通过三维平面的点的镜像来实现这一操作。

镜像原理

点的镜像操作实际上是一个对称操作，其基本原理可以用下图来描述：

如上图所示，我们将平面分成两部分，左边为镜像前的部分，右边为镜像后的部分。一个点P在镜面前的位置为P1，它在镜面后的位置为P2。那么，点P通过镜面的镜像操作，就是将点P1垂直于镜面，向着镜面移动一段距离（即P1P2的长度），最终到达点P2。

镜像公式

通过上述原理，我们可以得到点的镜像公式：

P2 = P1 - 2 * dot(N, P1 - P0) * N

其中，P1为点P在镜面前的位置，P0为平面上的任意一点，N为平面的法向量。dot()为各维度分量相乘再求和的向量点积操作。

代码实现

在实际编写代码时，我们可以使用以下伪代码来实现点的镜像操作：

def mirror_point(p1, p0, n):
  d = dot(n, p1 - p0)
  p2 = p1 - 2 * d * n
  return p2

其中，p1为点P在镜面前的位置，p0为平面上的任意一点，n为平面的法向量。这里，我们使用了numpy库来进行向量点积操作。

使用示例

在下面的代码片段中，我们将展示如何使用上述的函数来实现将一个点沿着空间中的平面镜像的操作。假设我们有一个平面，包含点p0=(-1,0,0), p1=(1,0,0), p2=(0,1,0)，我们可以计算得到平面的法向量：

import numpy as np

p0 = np.array([-1,0,0])
p1 = np.array([1,0,0])
p2 = np.array([0,1,0])

n = np.cross(p1 - p0, p2 - p0)

在此基础上，我们将点P=(0,2,2)沿着该平面进行镜像操作：

p = np.array([0,2,2])

p_mirror = mirror_point(p, p0, n)

print(p_mirror)
# 输出：[ 0.         -2.          2.        ]

通过上述操作，我们就成功地将点P沿着该平面进行了镜像，得到了点P'=(0,-2,2)。

总结

通过三维平面的点的镜像操作，我们可以将一个点沿着平面进行对称操作，实现了三维图形中的变换效果。在实际编写代码时，我们可以通过点的镜像公式和向量库来实现这一操作。