X轴上K个相交线段的选择方式数

问题描述：给定一个数K，代表在X轴上画了K条线段，求选择其中若干条线段，使得它们两两相交，有多少种不同的选择方式。

例如，当K=2时，有1种选择方式，因为只有一种选择方案，那就是选择这两条线段本身。

再比如，当K=3时，有3种选择方式，分别是选择第1、2条线段，第1、3条线段，第2、3条线段。

本问题的解法有很多，以下主要介绍一种动态规划的做法。

思路

考虑使用动态规划来解决此问题。设$f[i][j]$为前$i$条线段中选择$j$条线段，使得它们两两相交的方案数。则有以下状态转移方程：

$$f[i][j] = \sum_{k=1}^{i-1} f[k][j-1] \times c_{i-1}^{k-1}$$

即，从前$i-1$条线段选$j-1$条线段，并加上第$i$条线段，且第$i$条线段必须是前面$k-1$条线段的其中一条线段与第$i$条线段的交点，选择该交点对由$i$条线段中选择$j$条线段所衍生的方案数贡献了$c_{i-1}^{k-1}$，表示从$i-1$条线段中选择$k-1$条线段的方案数。

代码

实现代码如下：

def select_lines(K):
    # 初始化动态规划数组
    f = [[0] * (K+1) for _ in range(K+1)]
    # 边界条件
    for i in range(K+1):
        f[i][i] = 1
        
    # 状态转移
    for i in range(2, K+1):
        for j in range(1, i):
            for k in range(1, i):
                f[i][j] += f[k][j-1] * com(i-1, k-1)
    
    # 返回答案
    return f[K][K-1]
    
def com(n, m):
    # 计算组合数
    res = 1
    for i in range(1, m+1):
        res *= n - m + i
        res //= i
    return res

# 调用函数进行测试
K = int(input())
print(select_lines(K))

以上代码使用了组合数的计算方法，可以用于求解组合问题。由于涉及到组合数的计算，因此需要使用到较大的整数除法运算，可以使用Python的//运算符实现。