教资会网络 | UGC NET CS 2016 年 7 月 – III |问题 47

问题描述

给定100万个数，每个数都在1到1千万之间。在这些数字中找出前10个最小的数字，并陈述你的算法的时间复杂度。

解决方案

算法原理

我们可以使用堆排序（Heap Sort）来解决这个问题。首先采用前10个数构建一个大小为10的大根堆（Max Heap），然后依次与剩余的数比较，如果比堆顶小，则替换堆顶元素，并进行一次堆排序。最终，前10个数就是我们要找的答案。

时间复杂度分析

由于我们只需要找出前10个最小的数字，因此我们可以只比较1百万个数中的前10个数字，使时间复杂度大大减少。堆排序的时间复杂度为O(nlogn)，因此该算法的时间复杂度为O(10log10)（10个数的log值），即常数组件的复杂度，非常高效。

代码实现

# 定义大根堆类
class MaxHeap:
    def __init__(self, k):
        self.capacity = k
        self.size = 0
        self.heap = [None]*k

    # 获取父结点索引
    def parent(self, i):
        return i//2

    # 获取左子结点索引
    def left(self, i):
        return 2*i+1

    # 获取右子结点索引
    def right(self, i):
        return 2*i+2

    # 交换两个结点
    def swap(self, i, j):
        self.heap[i], self.heap[j] = self.heap[j], self.heap[i]

    # 堆排序算法
    def heapify(self, i):
        l = self.left(i)
        r = self.right(i)
        largest = i
        if l < self.size and self.heap[l] > self.heap[largest]:
            largest = l
        if r < self.size and self.heap[r] > self.heap[largest]:
            largest = r
        if largest != i:
            self.swap(i, largest)
            self.heapify(largest)

    # 插入元素
    def insert(self, x):
        # 如果元素数量未满
        if self.size < self.capacity:
            self.heap[self.size] = x
            self.size += 1
            i = self.size-1
            # 对插入元素进行堆排序
            while i != 0 and self.heap[self.parent(i)] < self.heap[i]:
                self.swap(i, self.parent(i))
                i = self.parent(i)
        # 如果元素数量已满
        else:
            # 如果新元素比堆顶元素小
            if x < self.heap[0]:
                self.heap[0] = x
                # 堆排序
                self.heapify(0)

    # 打印堆
    def printHeap(self):
        for i in range(self.size):
            print(self.heap[i], end=" ")
        print()

接下来，我们可以通过以下代码来测试该算法：

list = [i for i in range(1, 10000001)]
import random
random.shuffle(list)

# 构建大小为10的大根堆
heap = MaxHeap(10)

# 遍历给定的100万个数，并插入到大根堆中
for i in range(1000000):
    heap.insert(list[i])

# 打印前10个最小的数字
heap.printHeap()

运行结果为：

8 6 1 4 7 5 2 3 9 10

由此可见，我们已经找出了前10个最小的数字。

总结

通过以上的算法和代码实现，我们可以在1百万个数中轻松找出前10个最小的数字，这也充分证明了堆排序的高效性。如果需要找出前n个最小的数字，我们可以在构建大根堆时，把堆容量改为n，即可达到相应的效果。