将给定数组转换为Mountain数组所需的最少删除量

介绍

给定一个数组，我们可以通过将数组中的某些元素删除来将其转换为Mountain数组。Mountain数组是指一个数组A，其中0 <= i < j < k < A.length，满足A[i] < A[i + 1] < ... < A[j - 1] < A[j] > A[j + 1] > ... > A[k - 1] > A[k]。

我们需要确定最少删除多少个元素，才能将给定的数组转换为Mountain数组。

解法

为了将给定数组转换为Mountain数组，我们需要先找到数组中的最大值，然后将其划分为两个递增的子数组。我们可以通过选取代表两个子数组的两个最左边的数值的下标，来表示这个划分。

在选取这些下标的过程中，我们可以使用动态规划。我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个元素中，一个递增子序列以nums[i]结尾，一个递减子序列以nums[j]结尾的最小删除次数。

我们可以依次遍历数组中的每个元素，并在这个过程中更新dp数组。我们需要考虑两个情况：

1. 如果nums[i] > nums[j]，那么我们需要在[0,i-1]的范围内，找到一个元素k，满足nums[k] < nums[i]且dp[k][j]最小。将nums[i]添加到递减子序列中，将nums[k+1:i]删除，更新dp[i][j]的值。
2. 如果nums[i] <= nums[j]，那么我们需要在[j+1,i-1]的范围内，找到一个元素k，满足nums[k] > nums[j]且dp[i][k]最小。将nums[j]添加到递增子序列中，将nums[j+1:k]删除，更新dp[i][j]的值。

在遍历完数组中的每个元素后，dp数组中的最小值就是我们需要的答案。

代码实现

def minimum_deletions(nums):
    n = len(nums)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(1, n):
        max_value = 0
        for j in range(i):
            if nums[i] > nums[j]:
                max_value = max(max_value, dp[j][i])
            else:
                for k in range(j+1, i):
                    if nums[k] < nums[i]:
                        max_value = max(max_value, dp[k][j])
        dp[i][i] = max_value + 1
        for j in range(i+1, n):
            max_value = 0
            for k in range(i, j):
                if nums[k] > nums[j]:
                    max_value = max(max_value, dp[i][k])
                else:
                    for l in range(k+1, j):
                        if nums[l] < nums[j]:
                            max_value = max(max_value, dp[l][k])
            dp[i][j] = max_value + 1
    result = float('inf')
    for i in range(n):
        for j in range(i+2, n):
            result = min(result, dp[i][j])
    return result

复杂度分析

该算法的时间复杂度为O(n^3)。其中，遍历数组中的每个元素需要O(n)的时间复杂度；在遍历每个元素的过程中，对dp数组进行更新需要O(n^2)的时间复杂度。因此，总时间复杂度为O(n^3)。该算法的空间复杂度为O(n^2)。