在 C++ 中一个点关于另一个点的旋转

在计算机图形学中，我们经常需要进行点的旋转操作。其中一个常见的操作是将一个点绕另一个点旋转一定的角度。在 C++ 中，我们可以通过一些数学公式来实现这个操作。

推导公式

假设有一个点 $P(x, y)$ 和一个点 $O(a, b)$，我们希望将点 $P$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $\theta$ 角度。我们可以采用以下步骤来推导旋转后点的坐标。

1. 以点 $O$ 为原点建立平面直角坐标系。

2. 将点 $P$ 换算为以点 $O$ 为原点的坐标，即 $P'(x - a, y - b)$。

3. 根据三角函数公式可得 $P'$ 点绕原点旋转 $\theta$ 角度后的新坐标为 $P''(x'', y'')$，其中

   $$ \begin{aligned} x'' &= x' \cos \theta - y' \sin \theta\ y'' &= x' \sin \theta + y' \cos \theta \end{aligned} $$

4. 将点 $P''$ 恢复到以原来的坐标系，即 $P'''(x'' + a, y'' + b)$，得到旋转后点的坐标。

实现代码

根据上述推导过程，我们可以写出以下 C++ 代码实现点的旋转操作：

struct Point {
    double x, y;
};

// 点 P 绕点 O 逆时针旋转 angle 弧度
Point rotate(Point P, Point O, double angle) {
    Point P1 = { P.x - O.x, P.y - O.y };
    Point P2 = { P1.x * cos(angle) - P1.y * sin(angle), P1.x * sin(angle) + P1.y * cos(angle) };
    return { P2.x + O.x, P2.y + O.y };
}

这里我们使用了一个 Point 结构体来表示点的坐标。函数 rotate 接受三个参数，分别是需要进行旋转的点 P，中心点 O 和旋转的角度 angle，返回旋转后的点的坐标。

示例

假设有一个点 $P(2, 2)$ 和中心点 $O(0, 0)$，我们希望将点 $P$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $45^{\circ}$，我们可以调用 rotate 函数来计算旋转后的点的坐标：

Point P = { 2, 2 };
Point O = { 0, 0 };
double angle = M_PI / 4.0;  // 旋转 45 度
Point P2 = rotate(P, O, angle);  // 计算旋转后的点的坐标

最终得到旋转后的点的坐标为 $P'(1.41, 3.41)$。

总结

以上就是在 C++ 中实现点关于另一个点的旋转操作的全部内容。旋转操作在计算机图形学中是一个非常基础的操作，它可以应用于很多场景中，比如游戏中的角色旋转、图形处理中的图形变换等。了解它的实现方式对于我们理解计算机图形学中的其他一系列操作也非常有帮助。