将字符串转换为回文的最低成本

简介

问题描述：给定一个字符串 s，每次可以将一个字符修改为任意一个字符，成本为修改后的字符与原字符的 ASCII 码值差的绝对值。求将 s 转化为回文串的最低成本。

解决方案

题目要求将字符串 s 转化为回文串，我们可以想到使用动态规划算法。定义 dp[i][j] 表示将 s 的第 i 个字符到第 j 个字符变为回文串的最低成本。则有以下状态转移方程：

• 当 s[i] == s[j] 时，无需修改，dp[i][j] = dp[i+1][j-1]；
• 当 s[i] != s[j] 时，需要修改，dp[i][j] = min(dp[i+1][j]+cost(s[i]), dp[i][j-1]+cost(s[j]))，其中 cost(c) 表示将字符 c 修改为回文串中相应位置字符的成本。

最终结果为 dp[0][n-1]，n 为字符串 s 的长度。

代码示例：

def palindrome_min_cost(s: str) -> int:
    n = len(s)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n-2, -1, -1):
        for j in range(i+1, n):
            if s[i] == s[j]:
                dp[i][j] = dp[i+1][j-1]
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i+1][j]+abs(ord(s[i])-ord(s[j])), dp[i][j-1]+abs(ord(s[j])-ord(s[i])))
    return dp[0][n-1]

时间复杂度：O(n^2)，空间复杂度：O(n^2)

总结

动态规划是求解此类字符串转化问题的一种有效方法，可以通过定义合适的状态和状态转移方程，从而得到问题的最优解。对于本题，我们定义 dp[i][j] 表示将 s 的第 i 个字符至第 j 个字符变为回文串的最低成本，状态转移方程为 dp[i][j] = dp[i+1][j-1] 或者 dp[i][j] = min(dp[i+1][j]+cost(s[i]), dp[i][j-1]+cost(s[j]))。最终得到 dp[0][n-1] 即为所求的最低成本。