排序数组的最低成本

在排序数组中，经常需要进行元素交换的操作。为了降低交换的成本，我们可以使用一些算法来进行排序。下面介绍几种不同的排序算法以及它们的时间复杂度和空间复杂度，最后给出一种时间复杂度为O(n)的排序算法。

冒泡排序

冒泡排序是一种简单的排序算法，也是最基础的排序算法之一。它的基本思想是将相邻的元素比较并交换位置。重复这个过程，直到排好序为止。时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(1)。

def bubble_sort(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(n):
        for j in range(n-i-1):
            if arr[j] > arr[j+1]:
                arr[j], arr[j+1] = arr[j+1], arr[j]
    return arr

选择排序

选择排序也是一种简单的排序算法，它的基本思想是遍历数组，每次选择一个最小的元素，然后将其放到数组的起始位置。时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(1)。

def selection_sort(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(n):
        min_idx = i
        for j in range(i+1, n):
            if arr[j] < arr[min_idx]:
                min_idx = j
        arr[i], arr[min_idx] = arr[min_idx], arr[i]
    return arr

插入排序

插入排序是一种简单的排序算法，它的基本思想是将一个元素插入到已经排好序的部分。时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(1)。

def insertion_sort(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(1, n):
        key = arr[i]
        j = i - 1
        while j >= 0 and arr[j] > key:
            arr[j+1] = arr[j]
            j -= 1
        arr[j+1] = key
    return arr

快速排序

快速排序是一种比较高效的排序算法，它的基本思想是采用分治的策略将数组拆分成两个子数组，然后分别对两个子数组进行排序。时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(logn)。

def quick_sort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr
    pivot = arr[0]
    left = [x for x in arr[1:] if x < pivot]
    right = [x for x in arr[1:] if x >= pivot]
    return quick_sort(left) + [pivot] + quick_sort(right)

计数排序

计数排序是一种时间复杂度为O(n)的排序算法，它的基本思想是首先统计每个元素出现的次数，然后通过累加统计值得到每个元素在排序后的数组中的位置。时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n+k)，其中k为数组中元素的范围。

def counting_sort(arr):
    max_val = max(arr)
    counts = [0] * (max_val + 1)
    for x in arr:
        counts[x] += 1
    arr = []
    for i in range(max_val + 1):
        arr.extend([i] * counts[i])
    return arr

十大排序算法总结

通过上面的介绍，我们可以看到不同的排序算法有不同的优势和劣势。在选择排序算法时，需要综合考虑时间复杂度和空间复杂度等因素。下面是十大排序算法的时间复杂度和空间复杂度的总结:

| 排序算法 | 平均时间复杂度 | 最坏时间复杂度 | 空间复杂度 | | ------ | ------ | ------ | ------ | | 冒泡排序 | O(n^2) | O(n^2) | O(1) | | 选择排序 | O(n^2) | O(n^2) | O(1) | | 插入排序 | O(n^2) | O(n^2) | O(1) | | 快速排序 | O(nlogn) | O(n^2) | O(logn) | | 归并排序 | O(nlogn) | O(nlogn) | O(n) | | 堆排序 | O(nlogn) | O(nlogn) | O(1) | | 计数排序 | O(n+k) | O(n+k) | O(n+k) | | 桶排序 | O(n+k) | O(n^2) | O(n+k) | | 基数排序 | O(d(n+k)) | O(d(n+k)) | O(n+k) | | 梳排序 | O(nlogn) | O(n^2) | O(1) |

最低成本的排序算法

通过上面的介绍，我们可以看到快速排序是一种复杂度比较优秀的排序算法，但是它需要额外的空间来存储递归调用栈。如果我们要求交换X和Y的成本为XY，那么我们可以考虑使用一种特殊的快速排序算法来降低成本。

具体来说，我们可以将快速排序的递归调用栈改成交替排序X和Y。首先将数组随机打乱，然后从左到右遍历数组，如果当前元素是X，就和前面找到的第一个Y交换位置。如果当前元素是Y，就和前面找到的第一个X交换位置。这样可以保证最终排序的结果是正确的，而且交换X和Y的成本为XY。

def lowest_cost_sort(arr):
    n = len(arr)
    x_idx, y_idx = 0, 0
    for i in range(n):
        if arr[i] == 'X':
            arr[i], arr[x_idx] = arr[x_idx], arr[i]
            x_idx += 1
        elif arr[i] == 'Y':
            arr[i], arr[y_idx] = arr[y_idx], arr[i]
            y_idx += 1
    return arr

上面的代码实现了一种时间复杂度为O(n)的最低成本排序算法。它的基本思想是将数组中的X和Y按照顺序排列，这样交换X和Y的成本最小。