通过分别用它们值的一半和两倍分别替换较大和较小的元素对来最小化数组和，最多 K 次

前言

给定一个整数数组和一个整数K，每次操作都可以将最小和最大的元素分别替换为它们值的一半和两倍。最多进行K次操作，使得数组的和最小。本篇文章将介绍如何解决这个问题。

思路

首先，当K取值较小时，可以采用暴力求解的方法。对于每次操作，我们都枚举数组元素中最大值和最小值，进行替换，并记录数组的和。在所有的操作中，我们取最小的数组和作为结果。时间复杂度为O(n^2 * k)。

但当K取值较大时，暴力求解就不再可取。我们要寻求一个O(nlogn)级别的算法。在这里，我们可以将数组拆分为两部分：最小的K个元素和剩下的元素。对于最小的K个元素，它们的值可能会被替换多次，而剩余元素的值应该不会被替换。因此，我们可以将最小的K个元素单独处理。

对于最小的K个元素，它们的值可能会被替换多次。假设我们要将第i个元素替换n次，则它的值为a_i * (1/2)^n。同样的，如果要将它的值替换回原来的值，则需要替换n次，即a_i * (2^n)。因此，我们可以通过二分查找的方法，求出使得a_i * (1/2)^n < a_i * (2^n)的最小的n值，即为a_i的最终值。时间复杂度为O(k * nlogn)。

对于剩余的元素，由于它们的值不会被修改，我们只需要将它们相加，加上最小的K个元素的和即为最终结果。

综上所述，我们可以通过O(k * nlogn)的复杂度，解决这个问题。

代码

def min_array_sum(arr, k):
    n = len(arr)
    arr.sort()
    # 处理最小的K个元素
    for i in range(k):
        j = bisect_right(arr, arr[0] * 0.5) - 1
        if j < i:
            break
        arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
    # 计算最小的K个元素的值
    res = sum(arr[:k])
    for i in range(k):
        j = bisect_right(arr, arr[i] * 2) - 1
        if j < k:
            break
        res -= arr[i]
        res += arr[i] * (1 << (j - k + 1))
    # 计算剩余元素的值
    return res + sum(arr[k:])

结论

本篇文章介绍了通过分别用它们值的一半和两倍分别替换较大和较小的元素对来最小化数组和的问题，并给出了相应的算法。当K取值较小时，可以采用暴力求解的方法，其时间复杂度为O(n^2 * k)。当K取值较大时，可以通过二分查找的方法，求出每个元素的最终值，时间复杂度为O(k * nlogn)。