题目介绍：剪成最少正方形的纸

题目描述

给定一个长为 $n$，宽为 $m$ 的纸片，现在需要将其剪成若干个相等的正方形，使得所剪的正方形数量最少。

示例

输入: $n = 4, m = 5$

输出: 4

解析:

先将原始的纸片剪成 $4\times 4$ 的正方形和 $1\times 1$ 的正方形。

再将 $4\times 4$ 的正方形剪成 $2\times 2$ 的正方形和 $1\times 1$ 的正方形。

于是一共分成了四个正方形。

题目分析

本题是一道比较经典的算法题目，许多人会想到使用搜索来解决此类问题，不过方法正确但会超时，因此我们一般使用更加高效的贪心或者二分答案来解决该问题。

假设我们需要把纸片分割成 $k$ 个大小为 $x$ 的正方形，则纸片面积必须能够被 $k$ 整除，也即：

$$n \times m \equiv 0 \pmod k$$

那么假设 $n \leq m$，则枚举 $x$ 的范围为 $[1, n]$，但是直接枚举几乎是不可能的。

因此现在我们转化为求出最小的 $k$。

对于每个 $x$，我们可以将图形划分成 $l = \frac{n}{x},r = \frac{m}{x}$ 个小矩阵，然后再将这 $l \times r$ 个矩阵合并成一个大的矩阵，若这个大矩阵是正方形，则可行，否则不可行。

于是我们对于每个 $x$，可以预处理出划分图形后的大矩阵的边长，再求出所有可能的情况中所需正方形数量的最小值。

使用贪心算法可求得最小的 $k$，具体实现过程可以查看参考代码。

参考代码

class Solution:
    def minimumSquareSum(self, n: int, m: int) -> int:
        if n > m:
            n, m = m, n  # swap
        s = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)]  # 面积
        for i in range(1, n+1):
            for j in range(1, m+1):
                s[i][j] = i * j  # 计算小矩阵的面积
        res = float('inf')
        for k in range(1, n + 1):  # 枚举正方形的边长
            if n % k != 0 or m % k != 0:  # 正方形不能整除
                continue
            l, r = n // k, m // k  # 小矩阵的数量
            t = [[0] * (r+1) for _ in range(l+1)]  # 记录大矩阵是否可以拼成正方形
            for i in range(1, l+1):
                for j in range(1, r+1):
                    s1 = s[i*k][j*k]  # 小矩阵的面积
                    t[i][j] = s1 + t[i-1][j] + t[i][j-1] - t[i-1][j-1]  # 计算当前大矩阵的面积
            if t[-1][-1] == k*k:  # 如果当前大矩阵是正方形，则更新答案
                res = min(res, l * r)  
        return res

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