题目介绍

本题为2015年印度门(GATE)计算机科学套装3中的第63题。题目描述如下：

有一个长度为n的整数数组A，现在需要将其分为两个子数组，使得这两个子数组的和之差最小，即：

$|sum(A_1) - sum(A_2)|$

其中$A_1$和$A_2$分别表示两个子数组，$sum(A_1)$和$sum(A_2)$分别表示这两个子数组的求和值。

设计一个时间复杂度为O(n)的算法来解决该问题。

解题思路

该问题可以通过动态规划的方式来解决。具体思路如下：

1. 用$sum(i)$表示A数组前i个数的和，即$sum(i) = \sum\limits_{j=1}^i A_j$。
2. 定义一个二维数组$dp[i][j]$表示前i个数中选取j个数所能组成的最小差值，即$dp[i][j] = |sum(i) - 2 * sum(j)|$。
3. 初始化$dp[i][0] = sum(i)$和$dp[0][j] = sum(j)$。
4. 通过状态转移方程来更新$dp[i][j]$的值，即$dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] - 2 * A[i])$。
5. 最后返回$dp[n][n/2]$即可。

算法实现

def min_diff(A):
    n = len(A)
    sum_arr = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n+1):
        sum_arr[i] = sum_arr[i-1] + A[i-1]
    dp = [[0] * (n//2+1) for i in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][0] = sum_arr[i]
    for j in range(1, n//2+1):
        dp[0][j] = sum_arr[j]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, n//2+1):
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] - 2 * A[i-1])
    return dp[n][n//2]

参考资料

• GATE-CS-2015（套装3）| 第63题