给定大小的子序列中所有对的最小差的最大值

问题描述

给定一个长度为n的整数序列，选出长度为k的子序列，求其中所有对之间的最小差的最大值。

解决方案

方法一：暴力法

暴力法的时间复杂度是O(nk^2)。对于每个长度为k的子序列，需要枚举所有的对，计算它们之间的差，最后取最大值。

def max_min_diff(arr, k):
    n = len(arr)
    if k > n:
        return None
    res = float('-inf')
    for i in range(n-k+1):
        for j in range(i+k, n):
            diff = abs(arr[i] - arr[j])
            res = max(res, diff)
    return res

方法二：排序法

排序法的时间复杂度是O(nlogn)。我们可以先将数组排序，然后从左到右依次选取k个元素作为子序列的起始元素，计算与它们之后的k-1个元素之间的最小差，最后取所有最小差的最大值。

def max_min_diff(arr, k):
    n = len(arr)
    if k > n:
        return None
    arr.sort()
    res = float('-inf')
    for i in range(n-k+1):
        diff = arr[i+k-1] - arr[i]
        res = max(res, diff)
    return res

方法三：二分法

二分法的时间复杂度是O(nlogn)。我们可以二分答案，然后检查答案是否可行。对于一个给定的最小差x，我们可以从左到右依次选取k个元素作为子序列的起始元素，利用二分查找在其之后的元素中找到第一个大于等于arr[i]+x的元素，如果找到了，说明这个子序列是可行的，可以继续考虑更大的最小差，否则说明这个子序列不可行，必须考虑更小的最小差。

def max_min_diff(arr, k):
    n = len(arr)
    if k > n:
        return None
    left = 0
    right = max(arr) - min(arr)
    while left < right:
        mid = (left + right) // 2
        if check(arr, k, mid):
            left = mid + 1
        else:
            right = mid
    return left - 1

def check(arr, k, x):
    n = len(arr)
    cnt = 0
    i = 0
    while i < n and cnt < k:
        j = i + 1
        while j < n and arr[j] < arr[i]+x:
            j += 1
        if j == n:
            return False
        cnt += 1
        i = j
    return cnt == k

总结

以上是三种不同的解决方案，暴力法的时间复杂度较高，在实际使用中很少用到；排序法和二分法的时间复杂度都是O(nlogn)，其中排序法的空间复杂度较高，在数据量较大时可能会超出内存限制，而且排序法只能解决元素不重复的情况。二分法虽然代码略微复杂，但是它具有普适性，可以解决元素重复的情况，并且时间复杂度更优，是一种较为实用的解决方案。