通过重新排列两个二进制字符串形成的不同XOR的计数

给定两个长度相等的二进制字符串，通过重新排列这两个字符串中的字符，可以形成许多不同的新字符串。这些新字符串之间的XOR操作产生的结果也会不同。本题的目标是计算所有不同的XOR结果的数量。

示例

输入：字符串 0100 和字符串 1001

输出：6

解释：重新排列后形成的所有字符串及其XOR结果如下所示。

0100    XOR    1001    =    1101
0100    XOR    1010    =    1110
0100    XOR    0110    =    0010
1000    XOR    1001    =    0001
1000    XOR    1010    =    0010
1000    XOR    0110    =    1110

解法

我们可以将两个二进制字符串看作是两个01序列，然后对其进行排序。具体来说，可以使用计数排序，将每个字符出现的次数记录下来，并按顺序将它们插入到新的字符串中，然后进行XOR操作，统计不同的结果数量即可。

以下是Python实现：

def count_xor(string1, string2):
    count1, count2 = [0] * 2, [0] * 2
    for c in string1:
        count1[ord(c) - ord('0')] += 1
    for c in string2:
        count2[ord(c) - ord('0')] += 1
    string1 = '0' * count1[0] + '1' * count1[1]
    string2 = '0' * count2[0] + '1' * count2[1]
    xor_counts = set()
    for i in range(len(string1)):
        xor_counts.add(int(string1[:i] + string2[i:] + string2[:i] + string1[i:], 2) ^ int(string1, 2) ^ int(string2, 2))
    return len(xor_counts)

时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 是字符串的长度。

结论

本题通过计数排序和异或操作来计算不同XOR结果的数量，时间复杂度为$O(n)$。使用位运算也可以实现同样的功能，但其时间复杂度为$O(2^n)$，无法通过本题。