求每个球的初始方向的球之间发生的碰撞总数

问题描述

假设有一组相互穿过的球，并未知球的初始方向。现在，对于每个球，我们想知道碰撞之前在它的初始方向上和它相向而行的球的个数。

解决方案

算法思路

我们可以考虑暴力破解，对每个球进行遍历，查找所有和它在初始方向上相向而行的球，并统计个数。时间复杂度为 $O(n^2)$。

但是，我们也可以通过更巧妙的方法解决这个问题。首先，我们不需要考虑球的具体坐标和速度，只需要知道球在这条直线上的位置和向左还是向右运动即可。对于每个球，可以使用一个布尔值数组，表示它们在这条直线上的位置，并统计向左运动的球和向右运动的球的个数 $L$ 和 $R$。由于同一条直线上，如果向右运动的球和向左运动的球相遇必定发生碰撞，所以碰撞总数为 $min(L,R)$。

代码实现

以下是 Python 代码实现：

def count_collisions(directions: List[str]) -> List[int]:
    res = []
    for i in range(len(directions)):
        L, R = 0, 0
        for j in range(len(directions)):
            if i != j:
                if directions[j] == "L":
                    L += 1
                else:
                    R += 1
        res.append(min(L, R))
    return res

以上代码中，参数 directions 是一个字符串数组，表示每个球的初始运动方向。函数返回一个整数数组，表示每个球在初始方向上和相对它相向而行的球发生的碰撞总数。时间复杂度为 $O(n^2)$。

以下是优化后的 Python 代码实现：

def count_collisions_optimized(directions: List[str]) -> List[int]:
    L, R = 0, 0
    for d in directions:
        if d == "L":
            L += 1
        else:
            R += 1
    return [min(L, R)] * len(directions)

以上代码中，参数 directions 和函数返回值的含义同上。时间复杂度为 $O(n)$。

总结

本题可以通过简单的暴力遍历来解决，时间复杂度为 $O(n^2)$。但是，我们可以通过更巧妙的方法来优化时间复杂度，使其达到线性的时间复杂度 $O(n)$。