数组中最大可能的子集

当有一个数组的时候，有时需要找到最大可能的子集，使得这个子集中没有任何元素是它的其他元素的 K 倍。

问题描述

给定一个整数数组 nums，选取其中的元素，使得其子集中没有任何元素是子集中其他元素的倍数。如果存在多个解，则返回任意一个。

解法

思路

我们需要先将数组 nums 排序。然后使用动态规划 (DP) 解决该问题。

对于每个元素，我们要么将其加入到子集中，要么将其排除。我们可以使用一个布尔型的动态二维数组 dp 来表示当前子集的状态，其中 dp[i][j] 表示前 i 个元素是否可以形成一个子集，使得其和为 j。

对于每个元素 nums[i]，我们需要考虑两种情况，即选它或不选它。

如果选择它，则当前子集的和为 j-nums[i]，所以我们需要在 dp[i-1][j-nums[i]] 中查找是否存在满足条件的子集。

如果不选择它，则直接看 dp[i-1][j] 是否满足条件即可。

最后，当我们完成遍历后，最大的满足条件的子集中的元素即为 dp[n][1]，其中 n 为数组的长度。

代码

def largestSubset(nums, k):
    n = len(nums)
    nums.sort()
    dp = [[False] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    dp[0][0] = True
    
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, k + 1):
            if j < nums[i-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j] or dp[i-1][j-nums[i-1]]
    
    res = []
    for i in range(n, 0, -1):
        if dp[i][1]:
            j = i
            while j > 0 and not dp[j][1]:
                j -= 1
            res = nums[j:i]
            break
            
    return res

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(nk)$，其中 $n$ 是数组的长度，$k$ 是数组中所有数的最大值。
• 空间复杂度：$O(nk)$。

示例

输入

nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
k = 3
print(largestSubset(nums, k))

输出

[1, 2, 4, 6, 8]

结论

使用动态规划可以很好地解决这个问题。我们将问题分解为多个子问题，并使用动态规划保存中间状态，从而得到最终结果。