门|门 IT 2005 | 第 70 题

题目描述

给定一个长度为 $n$ 的正整数序列 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，找出其中的一个子序列，使得该子序列的元素之和最大。注意不能选择相邻的两个元素。

输入格式

第一行包含一个整数 $n$。

第二行包含 $n$ 个整数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$。

输出格式

输出一个整数，表示该子序列的元素之和的最大值。

输入样例

5
1 2 3 4 5

输出样例

9

题解

题目描述了一个很明显的约束条件：不能选择相邻的两个元素，因此我们需要思考如何得到最优解。

有许多算法可以解决这个问题，其中最简单的算法就是动态规划。我们可以定义一个状态 $f_i$ 表示前 $i$ 个元素中，选出一个符合要求的子序列，且该子序列以第 $i$ 个元素为结尾时，元素之和的最大值。

最后，我们遍历所有的 $f_i$，并取最大值作为题目的答案。

n = int(input())
a = list(map(int, input().split()))

f = [0] * (n + 1)
f[1] = a[0]

for i in range(2, n + 1):
    # 注意根据状态定义，不选第 i 个元素时 f[i] = f[i-1]
    f[i] = max(f[i - 1], f[i - 2] + a[i - 1])

print(f[n])

该算法的时间复杂度为 $O(n)$，可通过本题。