Boruvka 算法介绍

算法概述

Boruvka 算法是一种用于求解最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）的贪婪算法。它基于以下思想：通过选择边的方式逐步扩展最小生成树，直到所有节点都被连接为止。Boruvka 算法在复杂度上具有很好的优势，可在 O(E log V) 的时间复杂度内完成。

算法步骤

Boruvka 算法的步骤如下：

1. 初始化最小生成树的边集为空。
2. 对于每个节点，选择连接到它的最小权重的边，将这些边添加到最小生成树的边集中。
3. 合并所有的边，删除平行边，并将合并的边集更新为当前的最小生成树的边集。
4. 重复步骤 2 和 3，直到最小生成树只含有一个连通分量。

算法实现

以下是使用伪代码描述的 Boruvka 算法的实现过程。

1. 初始化最小生成树的边集为一个空集（mstEdges）。
2. 初始化每个节点所属的连通分量为其自身。
3. 重复以下步骤，直到最小生成树只有一个连通分量：
   1. 初始化一个空集（cheapestEdges）用于记录每个连通分量的最小权重边。
   2. 遍历图中的每条边，将权重最小的边添加到对应连通分量的 cheapestEdges 中。
   3. 遍历 cheapestEdges，将每个连通分量的最小权重边添加到 mstEdges 中。
   4. 合并每条边所连接的连通分量。
4. 返回最小生成树的边集 mstEdges。

示例代码

下面是使用 Python 语言实现 Boruvka 算法的示例代码。

def boruvka(graph):
    num_nodes = len(graph)
    subsets = [[node] for node in range(num_nodes)]  # 每个节点自成一个连通分量
    mst_edges = []

    while len(subsets) > 1:
        cheapest_edges = [None] * num_nodes

        # 遍历图中的每条边，记录每个连通分量的最小权重边
        for src_node in range(num_nodes):
            for dest_node, weight in graph[src_node]:
                src_subset = find(subsets, src_node)
                dest_subset = find(subsets, dest_node)

                if src_subset != dest_subset:
                    if cheapest_edges[src_subset] is None or weight < cheapest_edges[src_subset][1]:
                        cheapest_edges[src_subset] = (dest_node, weight)

        # 将每个连通分量的最小权重边添加到最小生成树的边集中
        for subset_idx, edge in enumerate(cheapest_edges):
            if edge is not None:
                dest_node, weight = edge
                mst_edges.append((subset_idx, dest_node, weight))

                # 合并每条边所连接的连通分量
                union(subsets, subset_idx, find(subsets, dest_node))

    return mst_edges

def find(subsets, node):
    for subset_idx, subset in enumerate(subsets):
        if node in subset:
            return subset_idx

def union(subsets, subset1, subset2):
    subsets[subset1] += subsets[subset2]
    del subsets[subset2]

总结

Boruvka 算法是一种高效的贪婪算法，用于求解最小生成树问题。它通过选择最小权重的边逐步扩展最小生成树，并在每一步中合并连通分量，直到最小生成树只有一个连通分量为止。算法的时间复杂度为 O(E log V)，其中 E 是边的数目，V 是节点的数目。