字符串中使相邻字符不相等的最少替换次数

问题描述

给定一个字符串，每次可以将某个字符替换成与其相邻的字符不同的任意字符。求使得相邻字符不相等的最少替换次数。

例如，对于字符串 "abab"，可以将第一个字符替换成 c 或者 d，第二个字符替换成 b 或者 c，使得相邻字符不相等。因此最少需要替换两次。

解决方案

这是一个经典的问题，可以使用动态规划算法来解决。

定义 $dp[i][0]$ 表示将字符串前 $i$ 个字符修改成相邻字符不相等的情况下，第 $i$ 个字符被替换为原字符需要的最少次数；$dp[i][1]$ 表示第 $i$ 个字符被替换为不同字符需要的最少次数。

则有以下状态转移方程：

$$ dp[i][0]=\begin{cases} dp[i-1][1]&,\text{if}\ s_i=s_{i-1} \ dp[i-1][0]&,\text{otherwise} \end{cases} $$

$$ dp[i][1]=\begin{cases} \min{dp[i-1][0],\ dp[i-1][1]}+1&,\text{if}\ s_i=s_{i-1} \ dp[i-1][0]&,\text{otherwise} \end{cases} $$

其中，当 $s_i=s_{i-1}$ 时，$dp[i][0]$ 只能从 $dp[i-1][1]$ 转移而来，因为如果要将 $s_i$ 替换为 $s_{i-1}$，则必须保证 $s_{i-1}$ 与 $s_{i-2}$ 不相等。因此需要将 $s_{i-1}$ 替换成与其相邻的字符不同的任意字符，这样才能保证 $s_i$ 不与 $s_{i-1}$ 相等。同理，$dp[i][1]$ 也需要对 $dp[i-1][0]$ 和 $dp[i-1][1]$ 分别讨论。

最终答案为 $\min{dp[n][0],\ dp[n][1]}$，其中 $n$ 为字符串的长度。

参考代码：

def min_replace(s: str) -> int:
    # 定义 dp 数组
    n = len(s)
    dp = [[0] * 2 for _ in range(n + 1)]

    # 初始化
    dp[1][0] = 0
    dp[1][1] = 1

    # 状态转移
    for i in range(2, n + 1):
        if s[i-1] == s[i-2]:
            dp[i][0] = dp[i-1][1]
            dp[i][1] = min(dp[i-1][0], dp[i-1][1]) + 1
        else:
            dp[i][0] = dp[i-1][0]
            dp[i][1] = dp[i-1][0]

    # 返回最终答案
    return min(dp[n][0], dp[n][1])

时间复杂度和空间复杂度

时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 为字符串的长度。