使两个字符串相等所需的最少翻转或交换次数

问题描述

给定两个长度相等的字符串 $s$ 和 $t$，每次可以将 $s$ 任意位置上的一个字符切换成另一个字符，或者将 $s$ 中相邻的两个字符翻转。问最少需要多少次操作，可以使得 $s$ 和 $t$ 相等。

解决思路

观察题目，我们可以发现，这个问题是一个组合优化问题。其中，每个字符因为相邻字符翻转的操作，至多只会发生一次改变。因此，我们可以想到一个贪心的思路：在两个字符串中维护一个指针 $p$，如果 $s_p\neq t_p$，那么我们尽量通过相邻字符的翻转，让 $s_p$ 变为 $t_p$。如果相邻字符翻转无法让 $s_p$ 变为 $t_p$，我们就找到 $s$ 中第一次出现 $t_p$ 的位置 $q$，并考虑把 $s_q$ 变成 $s_p$ 的值，这样就保证了 $s_p=t_p$，并且 $s_q$ 也不用再变化。

于是问题就被转化成了给定两个字符串 $s$ 和 $t$，求通过相邻字符的翻转以及交换某些相邻字符，将 $s$ 变为 $t$ 所需的最少操作次数。

我们可以把这个问题看成是一个图论问题。其中，每个节点表示两个字符串之间的某种状态，每个状态都可以通过一种操作变成若干个其他状态。这个图中，每个节点的入度和出度不超过 $4$。那么我们就可以考虑使用 bfs 或 A* 等搜索算法，从初始状态开始，不断地走向与当前状态距离更近的状态，直到达到目标状态。

我们通过搜索找到的最短路就是最少操作次数。

解决方案

下面是使用 bfs 算法求解这个问题的代码：

import collections

def minimum_operations(s: str, t: str) -> int:
    if len(s) != len(t):
        return -1
    
    n = len(s)
    swp = [0] * n
    pos = [i for i in range(n)]
    for i in range(n - 1):
        if s[i] == t[i]:
            continue
        for j in range(i + 1, n):
            if s[j] == t[i]:
                break
        else:
            return -1
        for k in range(j, i, -1):
            s = s[:k - 1] + s[k] + s[k - 1] + s[k + 1:]
            swp[k - 1] = 1
        pos[i], pos[j] = pos[j], pos[i]
    
    queue = collections.deque()
    queue.append((s, 0))
    visited = set([s])
    while queue:
        cur, steps = queue.popleft()
        if cur == t:
            return steps
        for i in range(n - 1):
            for j in range(i + 1, n):
                nxt = cur[:i] + cur[j] + cur[i + 1:j] + cur[i] + cur[j + 1:]
                if nxt not in visited:
                    visited.add(nxt)
                    queue.append((nxt, steps + 1))
    
    return -1

其中，swp 数组表示已经进行的相邻字符翻转操作，pos 数组表示字符串 $s$ 中每个字符的当前位置，queue 表示广搜队列，visited 表示已经访问过的状态集合。

这个算法的时间复杂度是 $\mathcal{O}(n!)$，其中 $n$ 是字符串的长度。实际上，由于我们通过相邻字符翻转和交换操作每次可以使得两个字符位置间隔增加 $1$ 或者减少 $1$，所以最短路的长度至多是 $n!$。因此，在实践中，这个算法是可行的。

总结

本题是一个组合优化问题，可以使用贪心和图论算法求解。其中，贪心算法可以获得一个不太好的近似解，而图论算法可以获得一个最优解。

本题的难度比较高，需要一定的算法思维能力和代码实现能力。如果你想成为一名顶尖的程序员，就需要不断地学习和思考类似的问题，并在实践中掌握这些算法和技巧。