门 | GATE-CS-2014-(Set-2) | 问题24

这个问题涉及计算机组成结构中的门电路。

问题描述

给定一个有两个输入和一个输出的逻辑门，其输出由以下两个布尔表达式之一给出：

• $f(a,b,c) = (¬a∨b)∧(a∨¬c)$
• $f(a,b,c) = (a∨¬b)∧(¬a∨c)$

你需要设计一个只使用与、或、非操作的逻辑门电路，并产生以上两个布尔表达式之一的输出。在电路中最多应有多少个门呢？

解决方案

由于只能使用与、或、非操作，我们需要通过布尔代数规则来组合和简化上述两个布尔表达式。

首先，使用德摩根律简化表达式。为了简化 $f(a,b,c) = (¬a∨b)∧(a∨¬c)$，我们可以使用以下两个补充规则：

• $(a∨b) = ¬(¬a∧¬b)$
• $(a∧b) = ¬(¬a∨¬b)$

在这些规则的帮助下，我们可以重写 $f(a,b,c)$ 为：

$f(a,b,c) = ¬((a∧¬b)∧(¬a∧c))$

同样的， $f(a,b,c) = (a∨¬b)∧(¬a∨c)$ 可以重写为：

$f(a,b,c) = ¬((¬a∧b)∧(a∧¬c))$

通过这些简化，我们可以仅仅使用与和非门来设计我们的电路，而不需要或门。

首先，考虑如何实现和操作。我们可以使用以下的规则：

• $a∧b = ¬(¬a∨¬b)$

接下来，考虑如何实现非操作。我们可以使用以下规则：

• $¬a = a∧a$

因此，我们可以将 $f(a,b,c)$ 重写为：

$f(a,b,c) = ¬((a∧¬b)∧(¬a∧c))$

$f(a,b,c) = ¬((¬a∧b)∧(a∧¬c))$

这两个表达式都可以使用上述规则转换为只包含与和非操作的表达式。

我们可以使用以下的布尔代数来计算这个表达式。

f(a,b,c) = ¬((a∧¬b)∧(¬a∧c))
= ¬(a∧¬b) ∨ ¬(¬a∧c)
= (¬a∨b) ∨ (a∨¬c)

对于第二个布尔表达式，我们可以使用同样的逻辑来计算：

f(a,b,c) = ¬((¬a∧b)∧(a∧¬c))
= ¬(¬a∧b) ∨ ¬(a∧¬c)
= (a∨¬b) ∨ (¬a∨c)

因此，我们需要使用两个非门、四个与门和两个或门，使用上述方法才能计算这两个布尔表达式。

这个电路的门数量为八个。

总结

在这个问题中，我们学习了如何使用布尔代数规则来简化布尔表达式，并使用这些规则来设计只包含与和非操作的电路。我们使用德摩根律简化了给定布尔表达式，并计算了电路所需的门数量。在计算机工程中，设计这种类型的逻辑是非常常见的，并且这些原则和规则可以用于设计复杂的逻辑和电路。