门| GATE-CS-2014-(Set-1) |问题 7

这道题目考察了程序员对具有推理性质的问题的解决方法，需要熟悉使用数学工具解决实际问题。

题目描述：假设有一个颜色仅为黑色和白色的门，起初是黑色的。当这个门被按下时，如果门某一侧的墙壁为白色，则门就会变成白色；否则，它会变成黑色。现在该门被按下了k次，请问最后它的颜色是什么？

首先，我们需要找到规律。假设门被按下了x次，则门的颜色会发生改变的情况只有一种：门在按下x-1次后的颜色和此时它所在的墙壁颜色不一致。因此，我们可以列出递推式：

f(x) = (not f(x-1) and w(x)) or (f(x-1) and not w(x))

其中，w(x)表示在按下x次后门所在的墙壁的颜色，not表示取反。这个式子很好理解：如果在这次按下门之前门是黑色，且墙壁是白色，那么下一次按下门之后门的颜色就会变成白色；如果墙壁是黑色，那么门的颜色仍然是黑色。同理，如果在按下门之前门是白色，且墙壁是黑色，那么下一次按下门之后门的颜色就会变成黑色；如果墙壁是白色，那么门的颜色仍然是白色。

对于第一次按下门，我们可以将它看成是将门置为白色，然后再按下k-1次。这样递推式就变成了：

f(k) = (not f(k-1) and w(k)) or (f(k-1) and not w(k))

f(k-1)我们并不知道，但是我们知道在第一次按下门之前它的颜色是黑色。所以我们可以将递推式进行简化：

f(k) = (not false and w(1) and w(2) and ... and w(k)) or (true and not w(1) and w(2) and ... and w(k))

这个式子的意思是，如果所有的w(x)都是true，那么门的颜色是白色，否则门的颜色是黑色。

接下来，我们需要编写代码实现这个算法。下面的代码使用了递推式，可以求出门最终的颜色。

def gate_color(num_presses, wall_colors):
    door_color = False  # 初始状态为黑色
    for i in range(num_presses):
        if door_color != wall_colors[i]:
            door_color = not door_color
    return "white" if door_color else "black"  # 返回门的颜色

下面是用来测试代码的代码片段：

print(gate_color(3, [True, False, False]))  # 期望输出：black
print(gate_color(4, [True, False, False, True]))  # 期望输出：white

以上就是本题的解答，需要注意的点是不要被递推式吓到，仔细分析它的含义即可。含量较高，对于初学者需要仔细理解。