在 O(1) 额外空间和 O(n) 时间内计算数组中所有元素的频率

在计算数组中元素频率时，很容易想到直接使用哈希表来统计。但是，这种算法需要使用额外的空间，且其时间复杂度为O(n)，不符合题目的要求。

下面介绍一种使用位运算的算法，可以在O(1)的额外空间和O(n)的时间内计算数组中所有元素的频率。

算法思路

这种算法的核心思想是将数组中的每个元素存在其二进制位上，即将每个元素拆分为若干个二进制位，每个二进制位记录该位置上1的个数。

为了方便，我们将每个元素的二进制位按从低到高编号为0至31，其中第i位表示数字中二进制数的第i位。例如数字'5'的二进制表示为'00000000 00000000 00000000 00000101'，其中第0位和第2位为1，其他位为0。

对于元素a，我们定义x = num[i]，表示其二进制表示中第i位上1的个数。将这些信息存储起来，可以使用一个长度为32的数组cnt，其中cnt[i]表示数组中所有元素在二进制表示中第i位上1的个数之和。

接下来，我们遍历数组a，计算出每个元素的x值，并更新cnt数组。最终，cnt[i]就表示数组a中所有元素在二进制表示中第i位上1的个数之和。

代码演示

def count_bits(nums):
    cnt = [0] * 32
    n = len(nums)
    for num in nums:
        for i in range(32):
            cnt[i] += num & 1
            num >>= 1
    return cnt

nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
cnt = count_bits(nums)
print(cnt)

算法分析

该算法的空间复杂度为O(1)，因为我们只需要一个长度为32的数组来记录数组中每个元素的二进制表示中1的个数，不随输入规模变化。时间复杂度为O(n)，其中n表示数组中元素的个数。遍历数组nums需要O(n)的时间，对于每个元素num，我们需要计算其二进制表示中每个位上1的个数，这一步需要O(1)的时间（最多计算32次），因此总时间复杂度为O(n)。