带有加法序列的字符串

在这个问题中，我们需要处理一些字符串，并计算它们的加法序列。

问题描述

定义一个带有加法序列的字符串，它由一个数字字符串和一个字符序列组成。字符序列中每个字符都是一个'+', '-'或'*'。字符串中的每个数字可以是一个或多个数字。

要得到加法序列的值，我们需要将数字字符串中的数字按顺序分割成若干个数字，然后在它们之间插入加、减或乘号，使得整个运算式的值最大。输入为一个字符串，输出为运算式的最大值。

例如，如果输入字符串为"123+456-789"，我们可以将数字分割为1和23，4和56，以及7和89，然后将加减乘号插入运算式中得到以下方案：

1 + 23 + 4 * 56 - 7 * 89 = -445
1 + 23 - 4 * 56 - 7 * 89 = -575
1 + 23 + 4 * 56 + 7 * 89 = 724

所以输出应该是724。

解决方案

有多种解决方案可以处理这个问题，下面将介绍其中两种。

动态规划

第一种解决方案是使用动态规划。我们可以将字符串分割成数字和操作符两个部分，然后使用一个二维数组来保存子问题的最大值。数组中的每个元素记录了从字符串的i到j位置中，最大的加法序列值。

具体的，我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从字符串i到j位置中，最大的加法序列值。我们可以通过以下公式来计算这个数组的值。

dp[i][j] = max{ dp[i][k] op[k+1][j] | i<=k<j }

其中op[k+1][j]表示从字符串k+1到j位置中的操作符，而op[i][j]表示从字符串i到j位置中的操作符，这是一个简单的递归定义。初始时，我们将diagonal线上的元素设置为数字字符串中的数字。最终，我们得到的dp[0][n-1]就是问题的答案。

具体的动态规划实现代码如下：

def solve(s):
    n = len(s)
    num = []
    op = []
    i = 0
    while i < n:
        if s[i].isdigit():
            j = i+1
            while j < n and s[j].isdigit():
                j += 1
            num.append(int(s[i:j]))
            i = j
        else:
            op.append(s[i])
            i += 1

    m = len(num)
    dp = [[0] * m for _ in range(m)]
    for i in range(m):
        dp[i][i] = num[i]

    for length in range(2, m+1):
        for i in range(m - length + 1):
            j = i + length - 1
            for k in range(i, j):
                if op[k] == '+':
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j])
                elif op[k] == '-':
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] - dp[k+1][j])
                elif op[k] == '*':
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] * dp[k+1][j])

    return dp[0][m-1]

这段代码的时间复杂度为$O(n^3)$。

堆栈

第二种解决方案是使用堆栈。我们可以使用两个堆栈，一个用来保存数字，另一个用来保存操作符。

我们遍历整个字符串s，当遇到数字时，我们将其转换成整数并压入数字堆栈。当遇到操作符时，我们将其压入操作符堆栈。这时候，我们需要比较操作符堆栈的顶部操作符和当前操作符的优先级。如果当前操作符的优先级低于等于栈顶操作符的优先级，则我们需要计算栈顶操作符的值，以及弹出操作符堆栈中的栈顶元素。计算的结果需要压入数字堆栈中。这样，我们可以保留当前操作符的优先级，而将更高优先级的操作符移动到前面，以便后面的数字可以先被计算。

最后，当我们遍历完整个字符串后，数字堆栈中只剩下一个元素，这个元素就是加法序列的最大值。

实现代码如下：

def solve(s):
    n = len(s)
    num = []
    op = []
    i = 0
    while i < n:
        if s[i].isdigit():
            j = i+1
            while j < n and s[j].isdigit():
                j += 1
            num.append(int(s[i:j]))
            i = j
        else:
            op.append(s[i])
            i += 1

    stack_num = []
    stack_op = []

    for i in range(len(num)):
        stack_num.append(num[i])
        if i < len(op):
            while stack_op and priority(stack_op[-1]) >= priority(op[i]):
                b = stack_num.pop()
                a = stack_num.pop()
                stack_num.append(calc(a, b, stack_op.pop()))
            stack_op.append(op[i])

    while stack_op:
        b = stack_num.pop()
        a = stack_num.pop()
        stack_num.append(calc(a, b, stack_op.pop()))

    return stack_num[0]

def priority(op):
    if op == '+' or op == '-':
        return 1
    elif op == '*':
        return 2
    else:
        return 0

def calc(a, b, op):
    if op == '+':
        return a + b
    elif op == '-':
        return a - b
    elif op == '*':
        return a * b
    else:
        return 0

时间复杂度为$O(n)$。

总结

在这篇文章中，我们介绍了如何处理带有加法序列的字符串问题。我们提供了两种解决方案，分别是动态规划和堆栈。这两种方法的时间复杂度分别为$O(n^3)$和$O(n)$。如果字符串的长度较小，那么动态规划可能是一个不错的选择；而如果字符串的长度较大，那么堆栈可能是更好的选择。