门（Gate） GATE CS 2018 第 34 题

这是2018年门（Gate）计算机科学领域的第34题。本题考察了红黑树（Red-Black Tree），树的遍历，以及树的旋转操作。

题目描述

给定一颗红黑树，其节点数为 $n$，每个节点的元素是 $1,2,\dots ,n$，节点的颜色为红或黑。红黑树的构造遵循以下规则：

1. 所有叶子节点都是黑色的（NIL节点）。
2. 节点的左右子节点的颜色要么都为黑色，要么都为红色。
3. 根节点是黑色的。
4. 任一节点到其每个叶子节点的路径上都包含相同数量的黑色节点。

给定红黑树的中序遍历和其中一个节点的值，需要将该节点从原树中删除。请编写一个程序实现此功能。

输入格式

第一行包含一个整数 $n$，表示红黑树的节点数。

第二行包含一个长度为 $n$ 的整数数组 $x_1, x_2, \dots, x_n$，表示红黑树的中序遍历结果（即按左->根->右的顺序输出所有节点的元素值）。

第三行为一个整数 $k$，表示需要删除的节点的元素值。

输出格式

输出一行，为新的树的中序遍历结果。

示例输入

6
1 2 3 5 7 8
5

示例输出

1 2 3 7 8

解题思路

首先我们要知道什么是红黑树。红黑树是一种自平衡的二叉查找树，它在每个节点上都增加了一个存储位来表示节点的颜色，可以快速地进行插入、删除和查找操作。红黑树的特点是：

• 每个节点都有一个颜色，红色或黑色。
• 根节点是黑色的。
• 所有叶子节点都是黑色的，即空节点（NIL节点）。
• 如果一个节点是红色的，则它的两个儿子节点都是黑色的。
• 对于任意一个节点而言，它到叶子节点的任何一条路径上的黑色节点数量都是相同的。

由于红黑树是二叉查找树，因此我们可以想到利用二叉查找的性质，找到需要删除的节点。找到已知节点 $k$ 在红黑树中的位置后，我们需要将其删除，而又由于红黑树是一种自平衡的二叉查找树，因此在删除节点 $k$ 的过程中，需要进行一些旋转以保持红黑树的平衡性。

删除节点 $k$ 的方法有三种：

1. 当 $k$ 是一个叶子节点时，直接将其删除即可。
2. 当 $k$ 只有一个子节点时，用其子树替代它自身。
3. 当 $k$ 有两个子节点时，找到其前继节点 $p$，然后用 $p$ 的节点替换 $k$。

如果我们使用第一种方法，那么涉及到的旋转操作最为简单。当我们使用第二种和第三种方法时，就可能需要进行多次旋转操作，以保持红黑树的平衡性。

时间复杂度

通过二叉查找，我们可以在 $O(\log n)$ 的时间内找到需要删除的节点，删除节点的时间复杂度为 $O(1)$，而旋转操作的时间复杂度最坏为 $O(\log n)$。因此，总的时间复杂度为 $O(\log n)$。

参考资料

• 维基百科 - 红黑树
• 算法导论 - 第13章 红黑树