从树中删除顶点后对连接组件进行计数的查询

当我们在处理树上的问题时，有时需要删除树中的一个顶点，并判断删除后树中有多少个连接组件。这个问题可以使用深度优先搜索（DFS）解决。

解决方法

1. 进行树的DFS遍历，对每个节点进行标记，用0表示未被删除，用1表示已被删除。
2. 在进行DFS遍历时，对于已被标记为1的节点，直接跳过，不再继续搜索。
3. 对于未被删除的节点，进行DFS搜索，并在搜索过程中记录子树中删除了多少个节点。
4. 如果节点被删除，它的子树中的节点都被删除了，那么它的父节点到它的节点之间的边可以看作是断掉的，这样就将原来的树分成了两个子树。
5. 继续进行DFS遍历，每次从一个未被标记的节点开始遍历，如果遍历到已被删除节点，那么连接组件数量加1，继续遍历下一个未被标记的节点。

代码实现

下面是使用Python解决这个问题的实现代码：

def dfs(u, d):
    """
    u: 当前节点
    d: 记录当前节点到删除节点的路径长度
    """
    vis[u] = 1
    cnt = 0  # 统计子树中删除节点的数量

    for v in edges[u]:
        if not vis[v]:
            cnt += dfs(v, d + 1)

    if u == delete_node:
        cnt += 1  # 如果当前节点为删除节点，需要将当前节点算上

    if cnt > 0:  # 如果子树中有删除节点，当前节点与父节点之间的边被断掉
        return cnt
    elif d < k:
        return 0  # 如果当前节点到删除节点的距离小于k，当前节点不会被分离出来
    else:
        return 1  # 新的连通分量

其中，vis数组用来记录节点是否已经被遍历过，edges用来存储树的边，delete_node用来记录要删除的节点，k用来记录删除节点后判断是否需要分离的距离。函数的返回值即为删除节点后新的连接组件数量。

完整的实现代码请参考下面的代码片段。

def count_components(n, edges, delete_node, k):
    vis = [0] * (n + 1)

    def dfs(u, d):
        """
        u: 当前节点
        d: 记录当前节点到删除节点的路径长度
        """
        vis[u] = 1
        cnt = 0  # 统计子树中删除节点的数量

        for v in edges[u]:
            if not vis[v]:
                cnt += dfs(v, d + 1)

        if u == delete_node:
            cnt += 1  # 如果当前节点为删除节点，需要将当前节点算上

        if cnt > 0:  # 如果子树中有删除节点，当前节点与父节点之间的边被断掉
            return cnt
        elif d < k:
            return 0  # 如果当前节点到删除节点的距离小于k，当前节点不会被分离出来
        else:
            return 1  # 新的连通分量

    ans = 0
    for i in range(1, n+1):
        if not vis[i] and i != delete_node:
            ans += dfs(i, 0)

    return ans

总结

本文介绍了如何使用深度优先搜索来解决从树中删除顶点后对连接组件进行计数的问题。在实现过程中，需要注意对已被删除的节点进行标记，以及统计子树中被删除的节点数量，并且需要根据节点到删除节点的距离判断当前节点是否会被分离出来。该算法时间复杂度为$O(n)$，效率较高，可以适用于一些计算时间要求较高的场合。