教资会网络 | UGC-NET CS 2017 年 11 月 – III |问题 61

这道题目涉及到离散数学中的图论，需要我们首先了解图的基本概念和应用。

图的基本概念

• 顶点(Vertex)：图中的节点。
• 边(Edge)：连接节点的线段。
• 度(Degree)：一个节点有几条边与之相连。
• 路径(Path)：由边按顺序连接起来的节点序列。
• 连通图(Connected graph)：无向图中两个节点之间有路径相连的图。
• 强连通图(Strongly connected graph)：有向图中两个节点之间有路径相连的图。
• 欧拉回路(Eulerian cycle)：一个图中恰好经过每条边一次的回路。
• 哈密顿回路(Hamiltonian cycle)：一个图中恰好经过每个节点一次的回路。

解题思路

题目要求求出一个无向图中有多少对节点之间有路径相连，并且这些路径必须包含恰好 3 条边。我们可以利用暴力枚举的方式，从每个节点出发，分别遍历所有可能的 3 条边，看看是否存在一条路径汇集了所有节点。

具体实现时，我们可以使用邻接矩阵来表示无向图，使用 DFS 来遍历图中的路径。遍历到每个节点时，我们记录该节点的状态，然后继续遍历该节点的所有邻居节点。当遍历到所有节点后，我们判断路径是否包含 3 条边，如果是的话，则将路径计数器加 1。

代码实现

def count_3_edge_paths(graph):
    """Count the number of paths in a graph that contain exactly 3 edges."""
    num_nodes = len(graph)
    path_count = 0
    
    # Traverse the graph using DFS, starting from each node
    for i in range(num_nodes):
        visited = [False] * num_nodes
        
        # Mark the starting node as visited
        visited[i] = True
        
        # Traverse the graph using DFS
        for j in range(num_nodes):
            if graph[i][j]:
                visited[j] = True
                for k in range(num_nodes):
                    if graph[j][k] and not visited[k]:
                        visited[k] = True
                        # Check if this is a valid path
                        if graph[k][i] and sum(visited) == num_nodes:
                            path_count += 1
                        visited[k] = False
                visited[j] = False
    
    return path_count // 6  # Divide by 6 to account for permutations

这里我们使用邻接矩阵来表示无向图。graph[i][j] 表示节点 i 和 j 之间是否存在边，True 表示存在，False 表示不存在。我们使用 DFS 来遍历图中的所有路径，其中 visited[i] 表示节点 i 是否已经被遍历过了。

性能分析

这道题目的时间复杂度为 $O(V^3)$，其中 $V$ 表示节点数。空间复杂度为 $O(V^2)$，用于存储邻接矩阵。由于节点数最多只有 10，因此我们的算法效率非常高，可以在 $1$ 秒内完成计算。

总结

图论是计算机科学中一门非常重要的学科，它在各个领域中都有广泛应用，比如最短路径算法、网络通信、图像识别等。对于程序员而言，了解图的基本概念和应用，能够在开发过程中更好地利用图相关算法解决实际问题。