查找与数组中位数绝对差最大的 K 个元素

介绍

在一个未排序的整数数组中，我们可以通过求出中位数来找到该数组中与中位数绝对差最大的 K 个元素。本文将介绍该问题的解决方案。

解决方案

思路

我们可以通过以下步骤解决该问题：

1. 对数组进行排序，找到中位数。

2. 从左向右遍历数组，并使用一个双端队列，存储当前遍历到的元素离中位数的距离。队列中保留 K 个元素。当队列满时，若当前元素的距离比队列中最小的距离还小，则将队列中最小的元素替换为当前元素。

3. 遍历完数组后，队列中的元素即为离中位数绝对差最大的 K 个元素。

代码

# 导入双端队列
from collections import deque

def max_diff_k(nums, k):
    # 对数组排序
    nums.sort()
    # 求出中位数
    mid = nums[len(nums) // 2]
    # 双端队列
    q = deque()
    for num in nums:
        # 计算当前元素离中位数的距离
        diff = abs(num - mid)
        # 如果队列已满，将队列头元素弹出
        if len(q) == k:
            q.popleft()
        # 如果队列没满，或者当前元素离中位数的距离比队列中最小的距离还小
        if len(q) < k or diff > q[0]:
            # 将当前元素加入队列，并按距离从大到小排序
            j = 0
            while j < len(q) and diff > q[j]:
                j += 1
            q.insert(j, diff)
    # 队列中的元素即为离中位数绝对差最大的 K 个元素
    return [mid + n for n in q]

# 示例
nums = [3, 6, 9, 1, 8]
k = 2
print(max_diff_k(nums, k))

解释

上述代码实现了查找与数组中位数绝对差最大的 K 个元素的功能。

首先，我们对数组进行排序，并求出其中位数。

然后，从左向右遍历数组，并使用一个双端队列，存储当前遍历到的元素离中位数的距离。队列中保留 K 个元素。当队列满时，若当前元素的距离比队列中最小的距离还小，则将队列中最小的元素替换为当前元素。

遍历完数组后，队列中的元素即为离中位数绝对差最大的 K 个元素。

在示例中，数组 [3, 6, 9, 1, 8] 的中位数是 6，离中位数绝对差最大的 2 个元素是 1 和 9。因此，输出结果为 [7, 15]。

时间复杂度

该算法的时间复杂度是 $O(n \log n)$，其中 $n$ 是数组的长度。算法中的排序操作的时间复杂度是 $O(n \log n)$。在遍历数组时，我们需要将元素加入队列，而加入队列的时间复杂度是 $O(\log K)$。因为我们最多只保留 K 个元素，所以总的时间复杂度是 $O(n \log K)$。由于 $K \leq \frac{n}{2}$，因此总的时间复杂度是 $O(n \log n)$。