双背包 | 动态编程

双背包问题是动态规划中的经典问题之一，指的是有两个背包和一些物品，每个物品有一个重量和一个价值，需要将这些物品放入两个背包中，并使得两个背包中的物品总重量不超过各自的容量，同时使得两个背包中物品的总价值最大化。

解题思路

与单背包问题类似，可以采用动态规划的思想来解决双背包问题。以 $f(i,j,k)$ 表示将前 $i$ 个物品分别放到容量为 $j$ 和 $k$ 的两个背包中可以获得的最大价值。

则状态转移方程可以表示为：

$f(i,j,k) = \max \begin{cases} f(i-1, j-w_i, k) + v_i \ f(i-1, j, k-w_i) + v_i \ f(i-1, j, k) \end{cases}$

其中，$w_i$ 和 $v_i$ 分别表示第 $i$ 个物品的重量和价值。第一个状态表示将第 $i$ 个物品放入第一个背包中，第二个状态表示将第 $i$ 个物品放入第二个背包中，第三个状态表示将第 $i$ 个物品不放入背包中。

根据状态转移方程，可以使用二维数组来存储状态，同时按照背包容量和物品重量进行迭代即可得到最终的结果。

代码实现

以下是使用 Python 实现双背包问题的代码片段，其中使用了一个二维数组来存储状态：

def double_knapsack(n, v1, v2, w1, w2, weights, values):
    # initialize
    dp = [[0] * (v2 + 1) for _ in range(v1 + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(v1, -1, -1):
            for k in range(v2, -1, -1):
                if j >= weights[i - 1] and k >= weights[i - 1]:
                    dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - weights[i - 1]][k - weights[i - 1]] + values[i - 1])
                elif j >= weights[i - 1]:
                    dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - weights[i - 1]][k] + values[i - 1])
                elif k >= weights[i - 1]:
                    dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j][k - weights[i - 1]] + values[i - 1])
    return dp[v1][v2]

总结

双背包问题是动态规划中的经典问题之一，使用动态规划的思想可以有效地解决这个问题。根据状态转移方程，可以使用一个二维数组来存储状态，将背包容量和物品重量作为两个维度进行遍历，并在遍历过程中更新状态即可得到最终的结果。