小背包问题

小背包问题即为在给定的背包容量和物品列表中选择一些物品装进背包，使得背包中装的物品价值最高。

解决方法

1. 贪心算法

贪心算法是一种局部最优的策略，即在每一步选择中都采取当前状态下最优的选择，最终得到全局最优解。在小背包问题中，可以采取价值重量比值最大的物品优先放入背包。此方法并不总能得到最优解。

2. 动态规划

动态规划是一种求解多阶段决策过程最优化问题的常用方法。在小背包问题中，可以采用动态规划算法，通过填表的方式求解最优解。

状态转移方程

设 dp[i][j] 表示将前 i 个物品装进容量 j 的背包中所能得到的最大价值。

对于第 i 个物品有两种选择：

1. 不装进背包：此时状态转移方程为：dp[i][j] = dp[i-1][j]
2. 装进背包：此时状态转移方程为：dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + v[i]

其中 w[i] 为第 i 个物品的重量，v[i] 为第 i 个物品的价值。

整个状态转移方程为：

dp[i][j] = max{dp[i-1][j-w[i]] + v[i], dp[i-1][j]}

代码片段

下面给出采用动态规划算法求解小背包问题的代码片段。假设已给出物品列表 w 和 v，背包容量为 C，代码中使用了二维数组 dp 来记录状态。

def knapsack(w, v, C):
    n = len(w)
    dp = [[0 for j in range(C+1)] for i in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, C+1):
            if j < w[i-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i-1]] + v[i-1], dp[i-1][j])
    return dp[n][C]

3. 回溯算法

回溯算法是一种通过穷举所有可能的情况来找到所有解的方法。在小背包问题中，可以采用回溯算法，穷举所有可能的选择，并计算出每一种选择下背包中物品的价值，最终选出价值最高的组合作为最优解。

回溯算法的时间复杂度较高，但在某些情况下，回溯算法可能得到更优的解。

总结

小背包问题是一种经典的优化问题，可以采用贪心算法、动态规划算法和回溯算法进行求解。不同的算法有不同的优缺点，在实际应用中需要根据具体情况进行选择。