计算矩形的数量，使得边的比例在 [a,b] 范围内

在图像处理、计算几何等领域，经常需要计算矩形数量及其相关参数。特别地，当需要筛选矩形的边长比例在某个范围内时，需要对矩形进行精确计算。在本文中，我们将介绍如何计算矩形的数量，使得边的比例在 [a,b] 范围内。

算法思路

所谓矩形的边长比例，即宽度和高度的比值。因此，我们可以通过遍历所有可能的矩形宽高组合，并计算其比例是否在给定的 [a,b] 范围内，来确定矩形数量。具体如下：

count = 0
for w in range(1, W):
    for h in range(1, H):
        if a <= w/h <= b:
            count += 1

其中，W 和 H 分别为矩形的最大宽度和最大高度。遍历所有可能的宽高组合，当宽高比例满足 [a,b] 范围内时，数量加 1。

该算法的时间复杂度为 $O(WH)$，即矩形最大宽度和最大高度的乘积。在实际计算中，该复杂度可能会很高，需要根据具体情况进行优化。

优化方案

由于矩形的宽高是互相独立的，因此我们可以将两个循环嵌套改为两次单独的循环，并在内部使用二分查找来定位满足条件的高度。具体如下：

count = 0
for w in range(1, W):
    min_h, max_h = int(a*w), int(b*w)
    if min_h > H:
        continue
    idx_min = bisect_left(h_range, min_h)
    idx_max = bisect_right(h_range, max_h)
    if idx_min == idx_max:
        continue
    count += idx_max - idx_min
    
for h in range(1, H):
    min_w, max_w = int(h/a), int(h/b)
    if min_w > W:
        continue
    idx_min = bisect_left(w_range, min_w)
    idx_max = bisect_right(w_range, max_w)
    if idx_min == idx_max:
        continue
    count += idx_max - idx_min

其中，h_range 和 w_range 分别为高度和宽度的范围，可在程序中预处理。对于每个宽度 w，计算出高度的最小值和最大值，使用二分查找在 h_range 中定位满足条件的高度数量。对于每个高度 h，同理可得符合条件的宽度数量。

该算法的时间复杂度为 $O(\max(W,H) \log \max(W,H))$，即最大宽度和最大高度的较大值的对数级别。可以极大地提高计算效率。

参考代码

下面是使用 Python 实现的代码片段：

from bisect import bisect_left, bisect_right

def count_rectangles(W, H, a, b):
    count = 0
    h_range = [i for i in range(1, H+1)]
    w_range = [i for i in range(1, W+1)]
    for w in range(1, W):
        min_h, max_h = int(a*w), int(b*w)
        if min_h > H:
            continue
        idx_min = bisect_left(h_range, min_h)
        idx_max = bisect_right(h_range, max_h)
        if idx_min == idx_max:
            continue
        count += idx_max - idx_min
        
    for h in range(1, H):
        min_w, max_w = int(h/a), int(h/b)
        if min_w > W:
            continue
        idx_min = bisect_left(w_range, min_w)
        idx_max = bisect_right(w_range, max_w)
        if idx_min == idx_max:
            continue
        count += idx_max - idx_min
        
    return count

调用方式如下：

>>> count_rectangles(10, 10, 0.5, 2)
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其中，10 和 10 分别为矩形的最大宽度和最大高度，0.5 和 2 分别为矩形边长比例的下限和上限。