矩形的最大子集，使得没有矩形适合任何其他矩形

问题描述

给定一个矩形集合，找到其中的最大子集，使得这个子集中的每个矩形都没有另外的矩形能够完全包含它。

解决方法

1. 暴力算法

首先可以想到的是暴力算法。枚举所有的子集，然后对于每个子集，判断它是否符合要求。但是因为子集的个数是指数级别的，所以这种算法的时间复杂度非常高，不可行。

2. 贪心算法

贪心算法可以分为两种思路：

• 按照某个特定的规则排序，然后从前往后选择；
• 每次选择可以得到最大收益的，然后继续进行相同的操作。

具体到这个问题，我们可以按照矩形面积从大到小排序，然后依次选择矩形。如果一个矩形无法被前面选择的矩形所完全包含，那么就将其加入到最大子集中。这个算法的时间复杂度为 $O(n^2)$。

3. 动态规划算法

动态规划算法需要定义状态和状态转移方程。在这个问题中，我们可以定义一个状态 $f(i)$ 表示以第 $i$ 个矩形为结尾的最大子集的大小。那么 $f(i)$ 可以由 $f(j)$ 推出，其中 $j$ 为小于 $i$ 的正整数且矩形 $j$ 无法完全包含矩形 $i$。状态转移方程为 $f(i) = \max{f(j)+1}$，其中 $\max$ 的范围是对于所有的 $j$。

这个算法的时间复杂度为 $O(n^2)$。下面是 Python 的代码实现：

def max_non_overlap_rectangles(rectangles):
    n = len(rectangles)
    f = [1 for _ in range(n)]
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if not is_inside(rectangles[j], rectangles[i]):
                f[i] = max(f[i], f[j]+1)
    
    return max(f)

def is_inside(rect1, rect2):
    return (rect1[0] >= rect2[0] and rect1[1] >= rect2[1] and
            rect1[2] <= rect2[2] and rect1[3] <= rect2[3])

其中 rectangles 表示矩形集合，每个矩形用一个四元组 $(x_1,y_1,x_2,y_2)$ 来表示，其中 $(x_1,y_1)$ 表示左下角的坐标，$(x_2,y_2)$ 表示右上角的坐标。

结论

在这个问题中，贪心算法可以在 $O(n \log n)$ 的时间内解决问题，比动态规划的算法要快。但是贪心算法并不能保证一定能够找到最优解。如果需要找到最优解的话，动态规划算法是比较稳妥的选择。