教资会网络 | UGC NET CS 2016 年 8 月 – III |问题 11

题目描述

假设有两个数组 $a$ 和 $b$，它们都是包含 $n$ 个正整数的数组，其中 $a_i$ 和 $b_i$ 中的元素都是大于等于 $1$ 且小于等于 $n (1 ≤ i ≤ n)$。现在定义一个序列 $c$，当且仅当满足下列条件时，序列 $c$ 才会成立：

1. 序列 $c$ 的前 $i$ 项之和等于序列 $a$ 的前 $i$ 项之和。
2. 序列 $c$ 的后 $n - i$ 项之和等于序列 $b$ 的后 $n - i$ 项之和。
3. 序列 $c$ 的每一项都是大于等于 $1$ 且小于等于 $n$ 的正整数。

例如，假设 $n = 5$、$a = [1, 2, 3, 4, 5]$ 且 $b = [5, 4, 3, 2, 1]$，那么序列 $c = [1, 2, 4, 5, 3]$ 就是合法的，因为前三项之和为 $1 + 2 + 4 = 7$，后两项之和为 $2 + 1 = 3$，且所有项都在 $1$ 到 $5$ 之间。

现在请编写一个程序，判断给定的两个数组 $a$ 和 $b$ 是否存在合法序列 $c$。

问题分析

我们首先可以思考，对于两个长度为 $n$ 的数组 $a$ 和 $b$，是否存在一个合法序列 $c$ 呢？我们可以尝试着构造这样一个序列 $c$。

设 $x = \sum_{i=1}^n a_i$，$y = \sum_{i=1}^n b_i$，$z = \lfloor\frac{x+y}{n}\rfloor$。如果 $x+y$ 不能被 $n$ 整除，则不存在合法序列 $c$。

否则，我们尝试按照以下步骤构造序列 $c$：

1. 对于 $1 \le i < n$，设 $s_i = \sum_{j=1}^i a_j$，$t_i = \sum_{j=1}^i b_j$。在序列 $c$ 中，令 $c_i = \operatorname{min}(s_i - (i-1)z, n - (n-i)t_{n-i+1} + (n-i-1)z)$。
2. 令 $s_n = x$，$t_n = y$，$c_n = x - (n-1)z$。

可以证明，按照上述步骤构造出来的序列 $c$ 一定是一个合法序列。

代码如下：

def check_valid_sequence(a, b):
    n = len(a)
    x = sum(a)
    y = sum(b)
    z = (x + y) // n
    
    if (x + y) % n != 0:
        return False
    
    c = [0] * n
    s = [0] * (n+1)
    for i in range(1, n):
        s[i] = s[i-1] + a[i-1]
    
    t = [0] * (n+1)
    for i in range(1, n):
        t[i] = t[i-1] + b[i-1]
    
    for i in range(n-1):
        ci = min(s[i+1] - i*z, n - (n-i-1)*t[n-i-2] + (n-i-1)*z)
        if ci < 1 or ci > n:
            return False
        c[i] = ci
    
    c[n-1] = x - (n-1)*z
    if c[n-1] < 1 or c[n-1] > n:
        return False
    
    return True

以上代码的时间复杂度为 $O(n)$。

总结

该题需要我们仔细思考，才能得到构造合法序列的方法。同时，在编写代码时，也需要注意细节。在本文中，我们介绍了一个时间复杂度为 $O(n)$ 的算法，并给出了对应的 Python 代码实现。