给定 Array 中 GCD 不是素数的对的计数

问题描述

给定一个整数 Array，统计其中所有的 GCD （最大公约数）不是素数的对的个数。

解决方案

一种简单的解决方案是，对于 Array 中的每一对数，计算它们的 GCD，然后判断这个 GCD 是否是素数。但是，这种方法的时间复杂度为 O(n^2)，对于大型 Array 的情况，运行时间会非常长。

更高效的解决方案是，使用数学知识来计算不是素数的 GCD 对的数量。我们知道，当两个整数 a 和 b 的 GCD 不是素数时，它们的 GCD 必然是某个质数 p 的倍数。因此，我们可以先计算 Array 中所有数的 GCD，然后将相同质因数的数放到同一个集合中。对于每个集合，我们选择其中两个数计算 GCD，如果它是质数 p 的倍数，则该集合中所有成对的数对都是不是素数的 GCD 对。然后我们将所有集合中的不是素数的 GCD 对的数量相加即可。

代码实现

以下是使用 Python 实现以上思路的代码示例：

from collections import defaultdict
from math import gcd

def count_nonprime_gcd_pairs(arr):
    # 计算所有数的 GCD 并将它们按质因数分组
    groups = defaultdict(list)
    for i in range(len(arr)):
        for j in range(i+1, len(arr)):
            g = gcd(arr[i], arr[j])
            groups[g].append((arr[i], arr[j]))

    # 统计每个集合中不是素数的 GCD 对的数量
    count = 0
    for _, pairs in groups.items():
        if len(pairs) < 2:
            continue
        p = None
        for x in pairs[0]:
            if p is None:
                p = x
            else:
                p = gcd(p, x)
        nonprime_pairs = 0
        for a, b in pairs:
            if gcd(a, b) % p == 0:
                nonprime_pairs += 1
        count += nonprime_pairs * (nonprime_pairs-1) // 2

    return count

性能分析

以上代码的时间复杂度为 O(n^2 log m)，其中 m 是 Array 中的最大数。这是因为首先要计算所有数的 GCD，时间复杂度为 O(n^2)，然后对每个集合计算 GCD，时间复杂度为 O(k log m)，其中 k 是集合大小。平均情况下，k 应该是很小的，因此总的时间复杂度是 O(n^2 log m)。空间复杂度为 O(n log m)，用于存储每个集合中的成员。