在 O(N) 时间内打印矩阵对角线的程序

在本篇文章中，我们将会学习如何在 O(N) 时间内打印一张 N x N 的矩阵的所有对角线。

什么是矩阵的对角线

我们定义一张 N x N 的矩阵的对角线为从左上角到右下角的对角线，以及从左下角到右上角的对角线。如下图所示：

基础解法

在代码实现之前，我们来看下如何打印矩阵的对角线。一个朴素的想法是直接以每条对角线为一个单位，通过两层循环遍历整个矩阵并依次打印出来。具体实现如下：

def print_matrix_diagonal(matrix):
    n = len(matrix)
    for i in range(n):
        for j in range(i+1):
            print(matrix[j][i-j], end=' ')
        print()
    for i in range(n-1):
        for j in range(n-i-1):
            print(matrix[i+j+1][n-j-1], end=' ')
        print()

这种基础解法的时间复杂度为 O(N^2 )，并不符合我们的要求。下面来看如何在 O(N) 时间内解决此问题。

优化解法

观察矩阵的对角线可以发现，它们的特点是斜着的。可以将这些斜线看作队列中的一条线段，通过线段的左右边界和方向来确定当前斜线的位置。参考如下图：

可以通过两层循环滑动斜线的左右边界来输出对角线的元素。具体实现如下：

def print_matrix_diagonal(matrix):
    n = len(matrix)
    for i in range(n):
        left, top = i, 0
        while left >= 0:
            print(matrix[top][left], end=' ')
            left -= 1
            top += 1
        print()
    for i in range(1, n):
        right, down = n-1, i
        while down < n:
            print(matrix[down][right], end=' ')
            right -= 1
            down += 1
        print()

这种改进的方法时间复杂度为 O(N)。

总结

通过以上的介绍，我们学习了如何在 O(N) 时间内打印一张 N x N 的矩阵的所有对角线。基本解法需要两层循环，时间复杂度为 O(N^2 )，不符合要求。通过观察矩阵的对角线的特点，优化解法使用一个队列，通过队列中的线段的左右边界和方向来快速输出对角线的元素，时间复杂度为 O(N)。希望您通过本篇文章的介绍，对此问题有了更深入的理解。