数据结构 - 表达式解析

在编程中，表达式解析一直是一个很重要的问题。表达式解析是将一个数学表达式转化为计算机可执行的指令序列的过程。在表达式解析过程中，数据结构是非常重要的，尤其是栈和队列。本文将介绍表达式解析中的相关数据结构和实现方法。

表达式解析基本概念

一个数学表达式可以由常数、变量、运算符和括号等组成。在表达式解析中，常数和变量可以看做基本的数据结构。而运算符和括号需要运用数据结构的相关知识对其进行解析。在表达式解析过程中，最基本的操作是将中缀表达式转化为后缀表达式。中缀表达式是我们平常所使用的数学表达式，如 1 + 2 * 3 - 4。而后缀表达式则是将运算符放在所作用的数值之后的一种表达方式，如 1 2 3 * + 4 -。

栈在表达式解析中的运用

在表达式解析过程中，栈是最基础的数据结构。它可以帮助我们实现中缀表达式转后缀表达式、求解后缀表达式的值等操作。下面我们将介绍两种常用的栈运用方法：运算符栈和括号匹配栈。

运算符栈

在将中缀表达式转化为后缀表达式的过程中，我们需要遍历中缀表达式中的每个字符。当遇到数字时，直接输出；当遇到运算符时，需要将其压入到运算符栈中。但是，在将当前运算符压入栈时，我们需要比较它和栈顶运算符的优先级，如果当前运算符优先级低于栈顶运算符，则需要将栈顶运算符弹出，输出到后缀表达式中，直到当前运算符的优先级高于栈顶运算符或者栈为空为止。在完成中缀表达式的整个遍历后，我们需要将运算符栈中的所有操作符依次弹出，输出到后缀表达式中。

下面是一个例子，演示如何将中缀表达式转化为后缀表达式：

def infix_to_postfix(infix: str) -> str:
    priority = {'+': 1, '-': 1, '*': 2, '/': 2, '^': 3}
    postfix = ''
    stack = []
    for char in infix:
        if char.isdigit() or char.isalpha():
            postfix += char
        elif char == '(':
            stack.append(char)
        elif char == ')':
            while stack and stack[-1] != '(':
                postfix += stack.pop()
            stack.pop()
        else:
            while stack and stack[-1] != '(' and priority.get(stack[-1], 0) >= priority.get(char, 0):
                postfix += stack.pop()
            stack.append(char)
    while stack:
        postfix += stack.pop()
    return postfix

括号匹配栈

在将中缀表达式转化为后缀表达式的过程中，我们需要用到括号。如果表达式中的括号不匹配，那么就无法进行表达式转换。在括号匹配栈中，我们需要将遇到的左括号入栈，遇到右括号时，如果栈顶元素是左括号，则弹出左括号。如果栈为空或者栈顶元素不是左括号，则表明括号不匹配，抛出括号不匹配的错误。

下面是一个例子，演示如何判断表达式中的括号是否匹配：

def is_parentheses_matched(expr: str) -> bool:
    stack = []
    for char in expr:
        if char in '([{':
            stack.append(char)
        elif char in ')]}':
            if not stack:
                return False
            if char == ')' and stack[-1] != '(' or \
               char == ']' and stack[-1] != '[' or \
               char == '}' and stack[-1] != '{':
                return False
            stack.pop()
    return not stack

队列在表达式解析中的运用

除了栈之外，队列在表达式解析中也扮演着重要的角色。在计算后缀表达式的值时，我们需要用到队列来帮助我们存储运算符作用的操作数，以便进行相应的运算。

下面是一个例子，演示如何计算后缀表达式的值：

def evaluate_postfix(postfix: str) -> float:
    stack = []
    for char in postfix:
        if char.isdigit():
            stack.append(float(char))
        else:
            right_operand = stack.pop()
            left_operand = stack.pop()
            if char == '+':
                stack.append(left_operand + right_operand)
            elif char == '-':
                stack.append(left_operand - right_operand)
            elif char == '*':
                stack.append(left_operand * right_operand)
            elif char == '/':
                stack.append(left_operand / right_operand)
    return stack.pop()

总结

对于表达式解析问题，栈和队列是非常关键的数据结构。其中，运算符栈可以帮助我们将中缀表达式转化为后缀表达式，括号匹配栈可以帮助我们检查表达式中的括号是否匹配。而在计算后缀表达式的过程中，我们需要用到队列来帮助我们存储运算符作用的操作数以及进行相应的运算。熟练掌握栈和队列的相关操作和应用，对于程序员来说是非常重要的。