📅 最后修改于: 2023-12-03 15:26:09.216000 🧑 作者: Mango
图是一种非常重要的数据结构，它由节点和边组成，用来表示各种复杂的关系。在计算机科学中，图有着广泛的应用，例如：路由、社交网络分析、最短路径问题等。
图的存储方式有两种基本方法：邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是使用二维数组来表示顶点和边之间的关系，其中矩阵的行和列分别对应顶点，而矩阵中的值表示两个顶点之间的关系。如果两个顶点之间有边相连，则矩阵中对应的值为1；否则为0。
| 1 | 2 | 3 |
----|---|---|---|
1 | 0 | 1 | 1 |
----|---|---|---|
2 | 1 | 0 | 1 |
----|---|---|---|
3 | 1 | 1 | 0 |
邻接矩阵的优点是可以快速地判断两个顶点之间是否有边相连，缺点是占用的空间较大，对于稀疏矩阵来说，大量空间会被浪费。
邻接表是使用链表来表示每个顶点所连接的边，每个顶点保存一个链表，链表中的节点保存当前顶点连接的其他顶点和边。邻接表可以有效地处理稀疏图，但判断两个顶点之间是否有边需要遍历链表，时间复杂度可能会比较高。
1 -> 2 -> 3
2 -> 1 -> 3
3 -> 1 -> 2
图的遍历指的是从图中的一个顶点出发，依次遍历所有的节点，并访问每个节点。图的遍历有两种常用的方法，分别是深度优先遍历和广度优先遍历。
深度优先遍历从图中的一个顶点出发，依次遍历该顶点所连接的所有节点。如果节点没有被访问过，则将其标记为已访问，并递归遍历该节点的相邻节点。
深度优先遍历使用栈来保存访问的顶点，遍历时先访问起点并入栈，如果它有子节点，则访问其中一个子节点，将该子节点入栈，如果没有子节点，或者所有的子节点都已经访问过，则将当前节点出栈。
深度优先遍历的时间复杂度为O(V+E)，其中V是顶点的数量，E是边的数量。
广度优先遍历从图中的一个顶点出发，依次遍历离该顶点最近的所有节点。遍历时使用队列来保存已访问的顶点，先访问起点并入队列，然后依次访问与该顶点相邻的所有节点，并将这些节点入队列。访问过的节点标记为已访问。
广度优先遍历的时间复杂度为O(V+E)，其中V是顶点的数量，E是边的数量。
图的算法包括最短路径算法、最小生成树算法等。
最短路径算法用来查找两个顶点之间的最短路径，其中Dijkstra算法和Bellman-Ford算法是两种比较常用的最短路径算法。
Dijkstra算法使用贪心策略，在处理前一个节点时，找到所有相邻节点的最短路径，然后选择一个距离最短的节点，将它添加到已访问的节点中，并将该节点的距离值保存起来。然后继续遍历其相邻节点并更新它们的距离值，直到所有节点都被访问过。Dijkstra算法只适用于处理没有负权值边的图。
Bellman-Ford算法适用于处理有负权值边的图，它通过遍历每一条边来更新每个顶点的距离值。Bellman-Ford算法中还会检测是否有负环路，如果有，算法将返回False。
最小生成树算法用来查找一个无向图中所有顶点的连通子集，该子集可以连接所有顶点并且满足权值最小。
其中Kruskal算法和Prim算法是两种常用的最小生成树算法。
Kruskal算法使用贪心策略，按照边的权值从小到大的顺序选择边，并保证创建的边不会形成环路，直到生成树中包括了所有的顶点为止。
Prim算法使用贪心策略，从一个随机选择的顶点开始建立树，并选择连接树中节点和树外节点的最短边。每次添加一条边都会将一个新的节点添加到树中，直到生成树包含了所有的顶点。Prim算法比Kruskal算法更适合处理有较多边的稠密图。