国际空间研究组织 | ISRO CS 2008 |问题 39

这是国际空间研究组织在2008年出版的一份计算机科学试题，其中的问题39是一道经典的算法题。

问题描述

有一个长度为n的数组，数组中的每个元素都是一个非负整数。现在我们需要对数组进行一次操作，操作的过程如下：

1. 随机选择数组中的两个元素，将它们的值分别减1。
2. 对于数组中所有值大于0的元素，同时将它们的下标加1，即将位置i的元素变为位置i+1的元素。
3. 重复执行上述两个步骤，直到数组中所有元素都为0。

现在给出数组中每个元素的初始值，请计算出操作后数组中元素的最大值和最小值之差。

输入格式

第一行一个整数n，表示数组的长度。

第二行n个用空格隔开的非负整数a1,a2,...,an，表示数组中每个元素的初始值。

输出格式

输出一个整数，表示操作结束后数组中元素的最大值和最小值之差。

样例输入1

5
1 2 3 4 5

样例输出1

4

样例输入2

5
5 5 5 5 5

样例输出2

0

解题思路

这是一个很有趣的题目，我们可以通过分析题目中的操作来寻找规律。通过观察题目，我们可以发现以下几点规律：

1. 任意时刻，数组中非零数的个数不会发生变化。

2. 如果两个数的差值大于1，那么可以通过将较大的数减1，较小的数加1来减小它们之间的差距。

   例如，如果数组中存在两个数a和b，且a > b + 1，那么我们可以将a减1，b加1，使得它们之间的差距缩小1。

3. 如果数组中所有数的差值都为0或1，那么操作结束。

基于以上规律，我们可以设计出以下算法：

1. 找到数组中最大的数max和最小的数min，计算它们之间的差值diff。

2. 将数组中的所有数减去min。

3. 如果数组中所有数的差值都为0或1，那么操作结束，返回diff。

4. 如果数组中存在两个数a和b，且a > b + 1，那么将a减去b + 1，将b加1。

5. 将数组中的所有数加上1，将diff减去1。

6. 重复执行步骤3到5，直到数组中所有数的差值都为0或1。

代码实现

def find_max_min_diff(n, a):
    # 找到数组中最大的数和最小的数
    max_val = max(a)
    min_val = min(a)
    diff = max_val - min_val

    # 将数组中的所有数减去最小值
    for i in range(n):
        a[i] -= min_val

    # 循环执行操作
    while True:
        # 判断数组中所有元素的差值是否都为1或0
        if max(a) - min(a) <= 1:
            break
        
        # 找到最大的数和第二大的数的下标
        max_idx = a.index(max(a))
        a[max_idx] -= a[max_idx] - a[-2]
        a[-1] += a[max_idx] - a[-2]

        # 将数组中的所有数加上1
        for i in range(n):
            a[i] += 1
        diff -= 1

    return diff

其中，参数n表示数组的长度，参数a是一个长度为n的列表，表示数组中每个元素的初始值。函数的返回值是操作后数组中元素的最大值和最小值之差。

总结

这是一道很好的算法题，通过分析题目，我们可以寻找到问题的规律，从而设计出高效的解题算法。对于算法题，我们需要注重通过分析问题来寻找规律，这是解决算法问题的关键。