具有等式约束的多元优化

简介

多元优化是指在多个自变量下寻找一个函数的最优解。具有等式约束的多元优化是指在存在等式约束的情况下求解多元优化问题。这种情况下，需要优化的目标函数必须满足一组等式约束条件。

求解方法

具有等式约束的多元优化问题可以采用拉格朗日乘子法进行求解。该方法将等式约束条件和原来的目标函数结合起来，得到增广目标函数，然后再利用单变量优化的方法求解该增广目标函数。

具体来说，假设我们有目标函数f(x1, x2, ..., xn)，等式约束条件g(x1, x2, ..., xn) = c。那么增广目标函数是L(x1, x2, ..., xn, λ) = f(x1, x2, ..., xn) + λ(g(x1, x2, ..., xn) - c)，其中λ是拉格朗日乘子。

增广目标函数的最优解可以通过以下步骤求解：

1. 求解L(x1, x2, ..., xn, λ)对x1, x2, ..., xn的偏导数，并令其等于零。
2. 求解L(x1, x2, ..., xn, λ)对λ的偏导数，并令其等于零。
3. 将上述偏导数方程组求解得到x1, x2, ..., xn, λ的值。
4. 将求得的x1, x2, ..., xn代入f(x1, x2, ..., xn)中，即可得到最优解。

示例代码

# 求解目标函数f(x) = x^2 + 2x + 1，在x = 1的条件下的最小值

from scipy.optimize import minimize_scalar

# 目标函数
def f(x):
    return x ** 2 + 2 * x + 1

# 等式约束条件
def g(x):
    return x - 1

# 求解增广目标函数的值
def L(x, λ):
    return f(x) + λ * g(x)

# 求解增广目标函数的偏导数
def dL(x, λ):
    return 2 * x + 2 + λ

# 求解最优解
res = minimize_scalar(lambda x: L(x, 1), bounds=(-10, 10), method='bounded', jac=lambda x: dL(x, 1))

print('最优解：', res.fun)
print('最优解点：', res.x)

总结

具有等式约束的多元优化是实际问题中常见的一种优化问题，可以采用拉格朗日乘子法来进行求解。该方法可以扩展到有多个等式约束或不等式约束的情况下，即可得到一般的约束优化问题的解决方案。