无约束多元优化

无约束多元优化是指求解一个多元函数的最优解，在无约束条件下，即不受任何限制条件的限制。

求解方法

梯度下降法

梯度下降法是一种常用的无约束多元优化算法。其基本思想是：从任意一点开始，沿着负梯度方向迭代下降，直到找到一个局部最小值。

以下是梯度下降法的Python实现代码片段：

def gradient_descent(f, df, x0, alpha, tol, max_iter):
    """
    梯度下降法求解无约束多元函数的最优解
    :param f: 目标函数
    :param df: 目标函数的梯度函数
    :param x0: 初始点
    :param alpha: 步长
    :param tol: 精度
    :param max_iter: 最大迭代次数
    :return: 最优解，最优解对应的函数值，迭代次数
    """
    x = x0
    fx = f(x)
    iter_num = 0
    while iter_num < max_iter:
        iter_num += 1
        x_new = x - alpha * df(x)
        fx_new = f(x_new)
        if abs(fx_new - fx) < tol:
            break
        x = x_new
        fx = fx_new
    return x, fx, iter_num

牛顿法

牛顿法是一种常用的无约束多元优化算法。其基本思想是：利用函数的二阶导数信息，构造二次模型，求解模型的最小值来逼近最优解。

以下是牛顿法的Python实现代码片段：

def newton(f, df, d2f, x0, tol, max_iter):
    """
    牛顿法求解无约束多元函数的最优解
    :param f: 目标函数
    :param df: 目标函数的一阶导数函数
    :param d2f: 目标函数的二阶导数函数
    :param x0: 初始点
    :param tol: 精度
    :param max_iter: 最大迭代次数
    :return: 最优解，最优解对应的函数值，迭代次数
    """
    x = x0
    fx = f(x)
    iter_num = 0
    while iter_num < max_iter:
        iter_num += 1
        dfx = df(x)
        d2fx = d2f(x)
        if abs(d2fx) < tol:
            break
        x_new = x - dfx / d2fx
        fx_new = f(x_new)
        if abs(fx_new - fx) < tol:
            break
        x = x_new
        fx = fx_new
    return x, fx, iter_num

总结

无约束多元优化是求解多元函数的最优解，在无约束条件下，即不受任何限制条件的限制。梯度下降法和牛顿法是常用的无约束多元优化算法，可以根据具体问题的性质选择合适的算法。