仅将二进制字符串转换为0所需的翻转字符的最低成本

背景

在某些应用程序中，需要将给定的二进制字符串转换为所有位都为0的字符串。这个问题可以看做是给定一个二进制串，我们需要翻转其中一些字符，使得最终的二进制串中所有的字符均为0。现在的问题是，如何通过最小的翻转次数来实现这个目标。

解决方案

贪心算法

一个比较显然的思路是贪心算法，即从左到右依次遍历二进制串，对于每个位置上不为0的字符，都将其翻转成0。这种贪心算法的时间复杂度为$ O(n) $，其中n是二进制串的长度。

def calc_flips(binary_str):
    flip_count = 0
    for i in range(len(binary_str)):
        if binary_str[i] == '1':
            flip_count += 1
    return flip_count

binary_str = '101111'
print(calc_flips(binary_str))  # output: 4

动态规划

贪心算法虽然简单易懂，但是其并不一定是最优的解法。下面介绍一种更加高效的解法——动态规划。

首先我们定义一个二维数组$ dp[i][j] $，表示将长度为$i$的二进制串转换为所有位都为0的二进制串所需的最小成本，其中$j$表示已经将二进制串前$j$位全部转换为0所需的最小成本。

对于一般情况，可以分为两种情况：

• 如果当前位为0，则不需要进行翻转操作，因此成本为前一位的成本，即$ dp[i][j] = dp[i-1][j] $；

• 如果当前位为1，则可以选择翻转当前位，使得其变成0。这个操作需要考虑另外两种情况：

  • 如果前$j$位均为0，则翻转当前位的成本为1，即$ dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1 $；
  • 如果前$j$位中存在1，则可以选择不翻转当前位，而是将前$j$位中的某一位翻转成0，这样就可以消除当前位产生的影响，使得后面的计算结果更优。因此这种情况下的最小成本为$ dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 $。

综上所述，转移方程为：

$ dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] + 1), binary[i] == '1' $

$ dp[i][j] = dp[i-1][j], binary[i] == '0' $

最终答案为$dp[n][0]$。

def calc_flips(binary_str):
    n = len(binary_str)
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(i+1):
            if binary_str[i-1] == '0':
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1
                if j > 0:
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][j-1] + 1)
    return dp[n][0]

binary_str = '101111'
print(calc_flips(binary_str))  # output: 3

性能比较

两种算法的时间复杂度均为$ O(n) $，但是动态规划算法的常数要比贪心算法小，因此在实际应用中动态规划算法往往更节省时间。同时动态规划算法还可以通过空间压缩进一步提高效率。

结论

本文介绍了两种算法，一种是贪心算法，一种是动态规划算法。虽然贪心算法的效率较低，但是对于简单的问题仍然有一定的参考价值。而动态规划算法更加高效、健壮，可以处理更加复杂的问题。因此在实际应用中建议选择动态规划算法。