仅将二进制字符串转换为 0 所需的翻转字符的最低成本

在处理字符串问题时，经常会遇到需要将字符串转换成目标字符串的情况。有时候我们只需要将某个字符替换成另一个字符，有的时候我们需要进行翻转操作，有的时候则需要进行删除和增加操作。本篇文章讨论的问题是，当我们将一个给定的二进制字符串转换成全0字符串时，所需要的最小翻转字符次数是多少。

问题描述

给定一个二进制串 $S$，我们需要将其转换成全0串，转换操作包括将一个 0 翻转成 1 或将一个 1 翻转成 0。我们的目标是使得转换的成本最小。每次翻转相邻的两个字符，每次操作的代价为 $1$。我们需要求得仅进行转换操作所需的最小代价。

解决方案

从最简单的情况开始考虑，假设 $S$ 只包含 1 或 0。我们只需要统计 $S$ 中 1 的个数，将其全部翻转成 0 即可得到全 0 串。表示此策略的 python 代码如下：

def min_flip_cost(s: str) -> int:
    return sum([1 for c in s if c == '1'])

当然，$S$ 中可能同时包含 1 和 0，直接使用上述策略显然是不可行的。但是我们可以使用最小翻转字符次数问题经典算法 —— 反转相邻字符法 来解决该问题。该算法是一种贪心算法，每次只会将一个逆序对进行翻转操作，使得当前翻转次数最小，不考虑未来的影响。只要将 $S$ 中的所有逆序对全部翻转即可得到全0串。表示此策略的 python 代码如下：

def min_flip_cost(s: str) -> int:
    cnt, prev = 0, s[0]
    for ch in s[1:]:
        if ch != prev:
            cnt += 1
            prev = ch
   return cnt + int(s[-1] == '1')

其中 $cnt$ 统计的是逆序对的个数，$prev$ 保存的是前一个字符的值，$\texttt{int(s[-1] == '1')}$ 是为了处理第一个字符是否需要进行翻转这种边界情况。

时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(1)$。更多关于字符串问题的经典算法，可以参考 $\texttt{python datastructures and algorithms}$ 一书中的章节。