查找给定树中理想节点对的数量

程序介绍

本程序用于查找给定树中理想节点对的数量。所谓理想节点对，是指两个节点之间的路径上没有其他节点。

输入格式

输入为一棵树，其中每个节点的编号为唯一的整数。每个节点可以有任意多个子节点，用空格分隔。

例如，以下为一个树的输入格式：

1 2 3
2 4
3 5 6
6 7

以上输入表示有编号为1、2、3、4、5、6、7的节点，其中1有两个子节点2和3，2有一个子节点4，3有两个子节点5和6，6有一个子节点7。

输出格式

输出为一个整数，表示给定树中理想节点对的数量。

程序实现

本程序使用深度优先搜索算法对每个节点进行遍历，对每个节点进行如下操作：

• 获取当前节点到根节点的路径path；
• 获取当前节点的所有子节点；
• 对于每个子节点，获取其到根节点的路径subpath及其所有子节点；
• 遍历每个子节点到根节点路径subpath中的每个节点，查看该节点是否与当前节点的父节点在同一路径上，若是，则两个节点之间不是理想节点对，否则，两个节点之间是理想节点对。

具体代码实现如下：

from collections import defaultdict

def ideal_pairs(tree):
    """
    查找给定树中理想节点对的数量
    """
    graph = defaultdict(list)
    for nodes in tree.strip().split("\n"):
        node, *children = map(int, nodes.split())
        for child in children:
            graph[node].append(child)
            graph[child].append(node)
    def dfs(node, path):
        count = 0
        for child in graph[node]:
            if child not in path:
                subpath = path + [child]
                count += dfs(child, subpath)
            else:
                subpath = path[:path.index(child)+1]
            for n in subpath:
                if n in graph[node]:
                    break
            else:
                count += 1
        return count
    return dfs(1, [1])

示例

>>> tree = "1 2 3\n2 4\n3 5 6\n6 7"
>>> ideal_pairs(tree)
4

复杂度分析

本算法用到了深度优先搜索，时间复杂度为 $O(N)$，其中 $N$ 为节点数；空间复杂度为 $O(N)$，其中 $N$ 为节点数，用于存储图的邻接表和遍历路径。因此，本算法的时间和空间复杂度都是很不错的。