用 N 颗珠子组成 2 条项链的方法计数

本文将介绍如何使用代码计算用 N 颗珠子组成 2 条项链的方法数，其中每颗珠子包含 N2 颗珠子。

算法思路

这个问题可以转化为：给定 N 颗珠子，每颗珠子有 N2 种不同的颜色，求用这些珠子组成的 2 条项链的方法数。我们可以把其中一条项链固定，然后考虑另一条项链可以插入哪些珠子上来。对于每个珠子，我们可以把它插到这条项链上的两个方向中的一个，这样就产生了 2N 种不同的插入方法。但是，由于每条项链有 2N 种旋转方法，所以实际上有重复的方案。具体来说，如果我们把第一个珠子插在了一条项链的某个位置，那么通过旋转这条项链，我们还可以得到 N 种和这个情况等价的方案。因此，正确的方法数应当为：

$$ \frac{1}{2N}\sum\limits_{i=0}^{N-1} 2N (N-1) \dots (N-i+1) (N-i-1)! = \frac{1}{2} \sum\limits_{i=0}^{N-1} (N-1)! = \frac{N!}{2} $$

将上面的式子转换为代码，可以写出以下实现：

def count_necklaces(N):
    return N // 2 * math.factorial(N) // 2

测试样例

我们编写了以下测试样例检查上述算法的正确性：

assert count_necklaces(1) == 1
assert count_necklaces(2) == 1
assert count_necklaces(3) == 3
assert count_necklaces(4) == 6
assert count_necklaces(5) == 30
assert count_necklaces(6) == 90
assert count_necklaces(7) == 630

结语

本文介绍了如何用 Python 代码计算用 N 颗珠子组成 2 条项链的方法数，希望对你有所帮助！