在N×N棋盘中计算不同的矩形

在N×N的棋盘中，我们可以找到许多矩形，它们的大小可能不同，但都是由相邻的方块组成的。本篇文章将介绍如何计算N×N棋盘中不同的矩形数量。这是一个比较抽象的问题，但是通过仔细观察和数学分析，我们可以解决它。

分析

先考虑一个简单的问题：在一个1×1的棋盘中，有多少个矩形？

很显然，只有一个。

接下来，我们考虑一个2×2的棋盘:

 o o
 o o

它包含的所有矩形如下：

 o   o   o o   o   oo   oo     ooo   ooo   ooo   ooo
 o   o   o o   oo  o    o      o     ooo   ooo   o
                                        o     o

我们可以将所有矩形按大小进行分类，它们的数量分别是：

1×1: 4
1×2: 6
2×1: 6
2×2: 1

根据计算结果，可以发现任意N×N棋盘总共的矩形数是可以计算的。

具体计算方式请参考mathsisfun的组合计算器。

代码实现

基于上述分析，我们可以通过以下代码计算N×N棋盘中不同的矩形数量：

def count_rectangles(n):
    return n * (n + 1) * n * (n + 1) // 4

上述函数的时间复杂度为 O(1)，可以快速计算棋盘中不同矩形的数量。

总结

在N×N棋盘中计算不同的矩形，本篇文章介绍了其简单的数学分析，并提供了时间复杂度为O(1)的代码实现。希望本篇文章对程序员们有所帮助。