将 N 写成两个或多个正整数之和的方法 | 组 2

在数学中，有许多将一个数写成两个或多个正整数之和的方法，这是一个古老的问题，也是一个广泛研究的领域。在这里，我们将为您介绍一些常见的方法，并提供一些示例代码。

1. 分解质因数法

将一个正整数 $N$ 分解为它的质因数之积，然后将它们组合成多个正整数的和，就可以得到 $N$。

例如，对于 $N = 24$，它的质因数分解为 $2^3 \times 3$，因此可以将它写成 $2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 = 24$。

以下是Python代码示例：

def factorization(n):
    factors = []
    d = 2
    while d * d <= n:
        while (n % d) == 0:
            factors.append(d)
            n //= d
        d += 1
    if n > 1:
        factors.append(n)
    return factors

def sum_of_factors(n):
    factors = factorization(n)
    result = []
    def backtrack(target, temp, start):
        if target == 0:
            result.append(temp[:])
        for i in range(start, len(factors)):
            if factors[i] > target:
                break
            temp.append(factors[i])
            backtrack(target-factors[i], temp, i)
            temp.pop()
    backtrack(n, [], 0)
    return result

2. 动态规划法

在动态规划法中，我们定义一个数组 $dp[i]$ 表示将 $i$ 分解成多个正整数之和的最大乘积。我们可以用以下递推公式来计算 $dp$ 数组的值：

$$ dp[i] = \max_{j=1}^{i-1}{j \times (i-j),\ j \times dp[i-j]} $$

例如，对于 $N = 24$，我们得到以下 $dp$ 数组：

$$ \begin{aligned} dp[1] &= 0\ dp[2] &= 1\times1 = 1\ dp[3] &= 1\times2 = 2\ dp[4] &= 2\times2 = 4\ dp[5] &= 2\times3 = 6\ dp[6] &= 3\times3 = 9\ dp[7] &= 3\times4 = 12\ dp[8] &= 4\times4 = 16\ dp[9] &= 3\times6 = 18\ dp[10] &= 4\times6 = 24 \end{aligned} $$

因此，我们可以将 $N$ 写成 $6 + 6 + 4 + 4 + 4 = 24$。

以下是Python代码示例：

def sum_of_numbers(n):
    dp = [0] * (n+1)
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(1, i):
            dp[i] = max(dp[i], j*(i-j), j*dp[i-j])
    result = []
    def backtrack(target, temp, start):
        if target == 0:
            result.append(temp[:])
        for i in range(start, n):
            if dp[i] > target:
                break
            temp.append(i)
            backtrack(target-i, temp, i)
            temp.pop()
    backtrack(n, [], 2)
    return result

3. 贪心法

在贪心法中，我们考虑每次选择尽可能大的数，直到达到 $N$，如果这些数的和不等于 $N$，则选择尽可能小的数，直到达到 $N$。

例如，对于 $N = 24$，我们可以按以下顺序选择数：

$$ 8, 8, 8 $$

但这不是 $N$ 的分解之一，因此我们需要选择尽可能小的数：

$$ 6, 6, 6, 6 $$

这是一个有效的分解，因此我们可以将 $N$ 写成 $6 + 6 + 6 + 6 = 24$。

以下是Python代码示例：

def sum_of_numbers(n):
    result = []
    while n > 0:
        k = int(n**0.5)**2
        if k == 0:
            k = 1
        result.append(k)
        n -= k
    return result

4. 回溯法

在回溯法中，我们逐个枚举 $N$ 的分解方法，直到找到一种分解方式。

例如，对于 $N = 24$，我们可以按以下方式枚举所有的分解方式：

$$ \begin{aligned} 24 &= 1 + 23\ &= 2 + 22\ &= 3 + 21\ &= \cdots\ &= 12 + 12\ &= 13 + 11\ &= \cdots \end{aligned} $$

然后我们可以用以下代码实现：

def sum_of_numbers(n):
    result = []
    def backtrack(target, temp, start):
        if target == 0:
            result.append(temp[:])
        for i in range(start, n+1):
            if i > target:
                break
            temp.append(i)
            backtrack(target-i, temp, i)
            temp.pop()
    backtrack(n, [], 1)
    return result

以上是常见的四种将一个数写成两个或多个正整数之和的方法，程序员在实际开发中可以根据需要选择合适的方法。