求 [L, R] 范围内 Array 元素的乘积之和

介绍

在数组操作中，求一个区间内元素的乘积之和是一个常见的问题。这在算法竞赛中经常出现，并且有多种方法可以解决。本文将介绍两种常见的求解方法：前缀积和数学公式法。

前缀积法

前缀积法是一种比较直观的方法。首先，我们可以使用前缀积数组 $pre$ 计算 $A$ 数组的前缀积，则 $pre_i$ 表示 $A$ 数组前 $i$ 个元素的乘积。

因此，区间 $[L, R]$ 内元素的乘积之和可以表示为：

$$\prod_{i=L}^{R}{A_i} = \frac{pre_R}{pre_{L-1}}$$

代码实现如下：

long long query(int l, int r) {
    return pre[r] / pre[l-1];
}

这种方法的时间复杂度为 $O(1)$，但是需要预处理前缀积数组，时间复杂度为 $O(n)$。

数学公式法

使用数学公式法来求解区间内元素的乘积之和，则需要使用对数和的等式：

$$\ln(\prod_{i=L}^{R}{A_i}) = \sum_{i=L}^{R}{\ln(A_i)}$$

因此，区间 $[L, R]$ 内元素的乘积之和可以表示为：

$$\prod_{i=L}^{R}{A_i} = e^{\sum_{i=L}^{R}{\ln(A_i)}}$$

可以使用库函数 log 计算元素对数的和。

代码实现如下：

long long query(int l, int r) {
    double sum = 0;
    for (int i = l; i <= r; i++) {
        sum += log(A[i]);
    }
    return (long long)(exp(sum) + 0.5);
}

这种方法的时间复杂度为 $O(n)$。

结论

两种方法都可以用来求解区间内元素的乘积之和。前缀积法效率更高，但需要预处理前缀积数组；数学公式法则更容易理解，但效率稍低。选择哪种方法取决于具体的需求。