小册子系列公式

小册子系列公式是一系列涵盖数学、物理、统计、机器学习等领域的公式手册，旨在帮助程序员更快更准确地理解和应用这些公式。

数学公式

微积分

• 求导公式：$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $
• 偏导公式：$ \frac{\partial f}{\partial x} $
• 泰勒公式：$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $
• 梯度公式：$ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \cdots , \frac{\partial f}{\partial x_n} \right) $

线性代数

• 矩阵转置：$ A^T = [a_{ji}] $
• 矩阵乘法：$ C_{ij} = \sum_k A_{ik}B_{kj} $
• 逆矩阵：$ AA^{-1} = A^{-1}A = I $
• 特征值公式：$ Ax = \lambda x $

物理公式

力学

• 牛顿第二定律：$ F = ma $
• 组合力：$ F = F_1 + F_2 + \cdots + F_n $
• 动能定理：$ K = \frac{1}{2}mv^2 $
• 加速度公式：$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} $

电磁学

• 欧姆定律：$ I = \frac{V}{R} $
• 麦克斯韦方程组：$ \begin{cases} \nabla \cdot E = \frac{\rho}{\epsilon_0} \ \nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t} \ \nabla \cdot B = 0 \ \nabla \times B = \mu_0 j + \frac{1}{c^2} \frac{\partial E}{\partial t} \end{cases} $
• 磁场公式：$ F = qvB\sin\theta $

统计公式

基本概念

• 期望公式：$ E(X) = \sum_i x_i p(x_i) $
• 方差公式：$ Var(X) = E((X-E(X))^2) $
• 协方差公式：$ Cov(X,Y) = E((X-E(X))(Y-E(Y))) $
• 相关系数公式：$ \rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} $

统计推断

• 标准差公式：$ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}} $
• 置信区间公式：$ \bar{x} - t_{\frac{\alpha}{2},n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{x} + t_{\frac{\alpha}{2},n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} $
• 假设检验公式：$ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}} $

机器学习公式

###监督学习

• 线性回归公式：$ y = \theta_0 + \theta_1 x_1 + \cdots + \theta_n x_n $
• 梯度下降公式：$ \theta_j = \theta_j - \alpha \frac{\partial}{\partial \theta_j} J(\theta) $
• 交叉熵公式：$ J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m [y^{(i)}\log(h_\theta(x^{(i)})) + (1-y^{(i)})\log(1-h_\theta(x^{(i)}))] $

无监督学习

• K均值聚类公式：$ J(c,\mu) = \sum_{i=1}^m ||x^{(i)} - \mu_{c_i}||^2 $
• 主成分分析公式：$ Z = XW $
• 自编码器公式：$ h = f(xW + b) $

以上是小册子系列公式的一部分，如果想了解更多，请自行查阅相关资料。