位掩码和动态规划 | 组 2 (TSP)

介绍

TSP (Traveling Salesman Problem) 是一个经典的 NP 难问题，即求解给定地图中旅行商人从一个城市出发，经过所有城市恰好一次，最后回到起点所需要的最短距离问题。

本文将介绍两种求解 TSP 的算法：位掩码和动态规划。

位掩码

位掩码是一种用于位运算的技巧，常常用于解决一些与二进制相关的问题。在 TSP 问题中，我们可以使用一个二进制数存储已经访问的城市，这样可以让状态压缩到一个 int 类型中，从而在空间上节省了很多。

使用位掩码的 TSP 算法的时间复杂度在 O(n^22^n) 左右，其中 n 是城市数量，但是该算法在实际应用中的速度远远不及动态规划算法。

动态规划

动态规划是一种通过将问题分解成子问题的方式来解决复杂问题的算法。在 TSP 问题中，我们可以使用一个二维数组 dp[i][j] 来存储从城市 i 出发，经过城市集合 j 中的城市恰好一次，最后到达城市 0 的最短距离。

使用动态规划的 TSP 算法的时间复杂度在 O(n^22^n) 左右，与位掩码算法相同。然而，由于动态规划算法使用了空间换时间的策略，因此在实际应用中的速度要比位掩码算法快得多。

实现

下面分别给出使用位掩码和动态规划求解 TSP 问题的代码实现。

位掩码

public static int tspMask(int[][] graph) {
    int n = graph.length;
    int max = (int) Math.pow(2, n);
    int[][] dp = new int[n][max];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        Arrays.fill(dp[i], Integer.MAX_VALUE);
    }
    dp[0][1] = 0;
    for (int s = 1; s < max; s += 2) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if ((s & (1 << i)) != 0) {
                for (int j = 0; j < n; j++) {
                    if ((s & (1 << j)) == 0) {
                        dp[j][s | (1 << j)] = Math.min(dp[j][s | (1 << j)], dp[i][s] + graph[i][j]);
                    }
                }
            }
        }
    }
    int ans = Integer.MAX_VALUE;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        ans = Math.min(ans, dp[i][max - 1] + graph[i][0]);
    }
    return ans;
}

动态规划

public static int tspDP(int[][] graph) {
    int n = graph.length;
    int max = (int) Math.pow(2, n);
    int[][] dp = new int[n][max];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        Arrays.fill(dp[i], Integer.MAX_VALUE);
    }
    dp[0][1] = 0;
    for (int s = 1; s < max; s++) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if ((s & (1 << i)) != 0 && i != 0) {
                for (int j = 0; j < n; j++) {
                    if ((s & (1 << j)) != 0 && j != i && dp[j][s ^ (1 << i)] != Integer.MAX_VALUE) {
                        dp[i][s] = Math.min(dp[i][s], dp[j][s ^ (1 << i)] + graph[j][i]);
                    }
                }
            }
        }
    }
    int ans = Integer.MAX_VALUE;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        ans = Math.min(ans, dp[i][max - 1] + graph[i][0]);
    }
    return ans;
}

总结

虽然位掩码和动态规划算法的时间复杂度相同，但是在实际应用中动态规划算法要比位掩码算法快得多。因此，在 TSP 问题中，我们通常使用动态规划算法来求解。