构造XOR树

简介

XOR树（XOR Binary Tree），是一种基于异或和（XOR）运算的树形结构。它可以通过给定完美二叉树的叶节点来构造，用来支持高效的区间异或查询和单点修改。

原理

XOR树的构造过程如下：

1. 初始状态下，将每个叶节点看做一个长度为1的序列，并将它的异或和作为该节点的值。
2. 对于每个非叶节点，将其左子节点和右子节点的值异或起来，作为该节点的值。
3. 重复步骤2，直到根节点的值为整个序列的异或和。

XOR树的查询过程如下：

1. 遍历XOR树，判断目标区间的左端点是否在当前节点的左子树中，右端点是否在当前节点的右子树中。
2. 如果左端点和右端点都在当前节点的子树中，则递归进入左右子节点；如果都不在，则返回0。
3. 如果左端点和右端点分别在当前节点的左右子树中，则返回当前节点的值。

XOR树的修改过程如下：

1. 遍历XOR树，找到对应叶节点，并修改它的值。
2. 一路返回，并更新父节点的值，直到根节点。

示例代码

下面是一个简单的Python实现：

class XORNode:
    def __init__(self, val, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

class XORTree:
    def __init__(self, values):
        self.root = self._build_tree(values)

    def _build_tree(self, values):
        if len(values) == 1:
            return XORNode(values[0])
        mid = len(values) // 2
        left = self._build_tree(values[:mid])
        right = self._build_tree(values[mid:])
        return XORNode(left.val ^ right.val, left, right)

    def query(self, left, right):
        return self._query_helper(self.root, left, right)

    def _query_helper(self, node, left, right):
        if left == right:
            return node.val
        mid = (left + right) // 2
        if mid >= right:
            return self._query_helper(node.left, left, right)
        if mid < left:
            return self._query_helper(node.right, left, right)
        return self._query_helper(node.left, left, mid) ^ self._query_helper(node.right, mid + 1, right)

    def update(self, i, val):
        self._update_helper(self.root, i, val)

    def _update_helper(self, node, i, val):
        if node.left is None and node.right is None:
            node.val = val
            return
        mid = (i + i + 1) // 2
        if i <= mid:
            self._update_helper(node.left, i, val)
        else:
            self._update_helper(node.right, i, val)
        node.val = node.left.val ^ node.right.val

总结

XOR树是一种高效的数据结构，主要用于支持区间异或查询和单点修改。通过给定完美二叉树的叶节点来构造，可以很方便地实现。