国际空间研究组织 - ISRO CS 2020 - 问题30

这是ISRO CS 2020计算机科学考试中的第30个问题。这个问题是关于排列组合的。我们需要计算在给定集合上的一个函数的次数。

问题描述

假设我们有一个由 $n$ 个元素的集合 $S={1,2,3,…,n}$。现在，我们定义一个函数$f: S → S$，使得对于任意给定的元素 $x∈S$，$f(f(x))=x$。此外，对于集合中的每个元素 $x∈S$，我们都有 $f(x)≠x$。在这样的情况下，我们的问题是，有多少个这样的函数 $f$ 可以存在？

输入格式

• 第一行 只包含一个整数 $T(1≤T≤100)$，表示测试用例的数量。
• 对于每个测试用例，都有一个整数 $n(2≤n≤100)$表示集合中有多少个元素。

输出格式

• 对于每个测试用例，输出一行，其中包含可以存在的编号函数的数量。

示例

输入：

2
2
3

输出：

1
2

解释

该问题可以通过计算 $n$ 的偶数和奇数值之间的区别来解决。如果 $n$ 是偶数，则可以考虑将 $f(x)$ 定义为 $x+1$，其中 $1≤x<n$ 和 $f(n)=1$。这样定义的 $f$ 将满足 $f(f(x))=x$ 和 $f(x)≠x$ 的所有 $x$ 值。让我们看看一个例子：

X f(X)

1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 1

同样，如果 $n$ 是一个奇数，则可以考虑定义 $f(x)$ 为 $x+1$，其中 $1≤x<n-1$ 以及 $f(n−1)=1$ 和 $f(n)=n−1$。这样定义的 $f$ 也将满足 $f(f(x))=x$ 和 $f(x)≠x$ 的所有 $x$ 值。让我们看看一个例子：

X f(X)

1 2 2 3 3 4 … n-2 n-1 n-1 1 n n-2

代码实现

test_cases = int(input())
for _ in range(test_cases):
    n = int(input())
    if n % 2 == 0:
        print(n // 2)
    else:
        print((n // 2) + 1)

总结

这个问题可以通过计算 $n$ 的偶数和奇数值之间的区别来解决。如果 $n$ 是偶数，则可以考虑将 $f(x)$ 定义为 $x+1$，其中 $1≤x<n$ 和 $f(n)=1$。同样，如果 $n$ 是一个奇数，则可以考虑定义 $f(x)$ 为 $x+1$，其中 $1≤x<n-1$ 以及 $f(n−1)=1$ 和 $f(n)=n−1$。最后，我们可以使用上面的代码片段来实现这个解决方案。