使用 Segment Tree 的所有大小为 K 的子数组的最大值

引言

在计算机科学中，“子数组最大值”是指在一个给定数组（如整数数组）中找到一个连续的子序列，该子序列的和或乘积最大。

本文将介绍如何使用 Segment Tree 来找到数组中所有大小为 K 的子数组的最大值。

Segment Tree

Segment Tree 是一种二叉树数据结构，它可以用于高效地处理数组的区间查询。每个节点代表数组中的一段区间。通常情况下，这个区间是被存储在数组中的连续一段。

Segment Tree 通常用于以下几种情况：

• 区间最大值、最小值、和、乘积等查询。
• 区间修改。
• 区间和、积等单点修改。

为了更好地理解，我们来看一个具体的例子：

class SegmentTree:
    def __init__(self, arr):
        self.arr = arr
        self.tree = [0] * (4 * len(arr))
        self.__build(0, 0, len(arr) - 1)

    def __build(self, node, start, end):
        if start == end:
            self.tree[node] = self.arr[start]
        else:
            mid = (start + end) // 2
            left_node = 2 * node + 1
            right_node = 2 * node + 2
            self.__build(left_node, start, mid)
            self.__build(right_node, mid+1, end)
            self.tree[node] = max(self.tree[left_node], self.tree[right_node])

    def query(self, node, start, end, i, j):
        if i > end or j < start:
            return -1
        if i <= start and j >= end:
            return self.tree[node]
        mid = (start + end) // 2
        left_node = 2 * node + 1
        right_node = 2 * node + 2
        left = self.query(left_node, start, mid, i, j)
        right = self.query(right_node, mid+1, end, i, j)
        if left == -1:
            return right
        elif right == -1:
            return left
        else:
            return max(left, right)

    def update(self, node, start, end, index, val):
        if start == end:
            self.arr[index] = val
            self.tree[node] = val
        else:
            mid = (start + end) // 2
            left_node = 2 * node + 1
            right_node = 2 * node + 2
            if index <= mid:
                self.update(left_node, start, mid, index, val)
            else:
                self.update(right_node, mid+1, end, index, val)
            self.tree[node] = max(self.tree[left_node], self.tree[right_node])

上述代码实现了一个基本的 Segment Tree，包含建树、查询和修改操作。其中，区间查询使用了线段树上二分查找的思想，将查找区间分成了左右两个子区间，再递归查询这两个子区间。这里的查询操作是针对区间最大值的。

解题思路

本题要求我们对于一个长度为 N 的整数数组 A，找出该数组中所有长度为 K 的连续子数组的最大值。如果使用简单的枚举法，时间复杂度将达到 O(NK)，无法通过本题。

通过传统的区间查询操作可以找出区间最大值，但问题在于如何处理“连续子数组”的情况。

考虑使用滑动窗口的方法。我们可以将整个数组分割成多个大小为 K 的块。对于每个块，使用 Segment Tree 查找其中的最大值。由于每个块之间有 K-1 个元素相同，因此每个块之间的比较只需要比较这 K-1 个元素即可。

最终的时间复杂度为 O(N logN)，其中 logN 是由于使用 Segment Tree 带来的。

代码实现

class SegmentTree:
    def __init__(self, arr):
        self.arr = arr
        self.tree = [0] * (4 * len(arr))
        self.__build(0, 0, len(arr) - 1)

    def __build(self, node, start, end):
        if start == end:
            self.tree[node] = self.arr[start]
        else:
            mid = (start + end) // 2
            left_node = 2 * node + 1
            right_node = 2 * node + 2
            self.__build(left_node, start, mid)
            self.__build(right_node, mid+1, end)
            self.tree[node] = max(self.tree[left_node], self.tree[right_node])

    def query(self, node, start, end, i, j):
        if i > end or j < start:
            return -1
        if i <= start and j >= end:
            return self.tree[node]
        mid = (start + end) // 2
        left_node = 2 * node + 1
        right_node = 2 * node + 2
        left = self.query(left_node, start, mid, i, j)
        right = self.query(right_node, mid+1, end, i, j)
        if left == -1:
            return right
        elif right == -1:
            return left
        else:
            return max(left, right)

    def update(self, node, start, end, index, val):
        if start == end:
            self.arr[index] = val
            self.tree[node] = val
        else:
            mid = (start + end) // 2
            left_node = 2 * node + 1
            right_node = 2 * node + 2
            if index <= mid:
                self.update(left_node, start, mid, index, val)
            else:
                self.update(right_node, mid+1, end, index, val)
            self.tree[node] = max(self.tree[left_node], self.tree[right_node])
            
def max_in_all_subarrays(arr, k):
    n = len(arr)
    if k > n:
        return
    st = SegmentTree(arr[:k])
    res = [st.tree[0]]
    for i in range(k, n):
        st.update(0, 0, k-1, i % k, arr[i])
        res.append(st.tree[0])
    return res

总结

本文介绍了如何使用 Segment Tree 在 O(N logN) 的时间复杂度内找出一个数组中所有大小为 K 的连续子数组的最大值。通过对问题的分析以及滑动窗口的方法，我们可以将问题分解成多个子问题，并使用 Segment Tree 解决其中的区间最大值问题。

做题时，我们需要善于将问题转化为已有的算法或数据结构，以加快解题速度，降低解题难度。Segment Tree 可以帮助我们更高效地解决许多数组相关的问题。